Hàm số bậc ba đồng biến khi nào năm 2024

Tìm m để hàm số đồng biến trên R hoặc hàm số nghịch biến trên R là một trong các dạng toán phổ biến về sự đơn điệu của hàm số. Bởi R cũng là một khoảng từ -∞ (âm vô cực) tới +∞(dương vô cực) nên đây chính là 1 trường hợp riêng của dạng toán tìm hàm số đơn điệu trên 1 khoảng. Đối với dạng toán này các bạn cần nắm được các điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng R. Đồng thời cần phải nhớ được một số trường hợp đặc biệt để vận dụng giải nhanh các dạng toán này. Cùng butbi theo dõi nhé!

Tham khảo thêm:

• Toán 12: Sự đồng biến nghịch biến của hàm số
• Toán 10: Hàm số là gì

1. Điều kiện để hàm số đồng biến trên R hoặc nghịch biến trên R

Trước tiên các bạn cần biết rằng điều kiện để hàm số y = f(x) đồng biến trên R thì điều kiện đầu tiên đó là hàm số phải xác định trên R đã.

Giả sử ta có hàm số y=f(x) xác định và liên tục, có đạo hàm trên R. Khi đó để hàm số y = f(x) đơn điệu trên R khi và chỉ khi thỏa mãn được 2 điều kiện sau:

– Hàm số y = f(x) xác định trên R

– Hàm số y = f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên R

Ở trong điều kiện thứ hai các bạn cần chú ý đó là ( y’) có thể bằng 0 nhưng nó chỉ được bằng 0 tại hữu hạn điểm (hoặc là số điểm mà đạo hàm bằng 0 là tập có thể đếm được)

Một số trường hợp cụ thể mà chúng ta bắt buộc cần phải nhớ về điều kiện để đơn điệu trên R đó là:

a. Trường hợp đối với hàm số đa thức bậc 1:

• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đồng biến trên R khi và chỉ khi đáp ứng điều kiện a> 0
• Hàm số y = ax + b (a ≠ 0) nghịch biến trên R khi và chỉ khi đáp ứng điều kiện a< 0

b. Trường hợp đối với hàm số đa thức bậc 3:

Hàm số đồng biến trên R, nghịch biến trên R với đa thức bậc 3

c. Trường hợp đối với hàm số đa thức bậc chẵn

Hàm số đa thức bậc chẵn thì không thể đồng điệu trên R được nhé các bạn.

2. Tìm m để hàm số đồng biến trên R – Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = x³ +2(m-1)x² + 3x – 2. Các bạn hãy tìm m để hàm số đồng biến trên R

Trả lời:

Để hàm số y = x³ +2(m-1)x² + 3x – 2 đồng biến trên R thì cần thỏa mã điều kiện như sau: (m – 1)² – 3.3 <= 0 ⇔ -3 <= m – 1 <= 3 ⇔ -2 <=m <= 4

Các bạn cần phải lưu ý: Đối với hàm số đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần phải xét trường hợp hàm số suy biến nhé!

3. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R – Ví dụ minh họa

Cho hàm số y = mx³ – mx² – (m + 4)x + 2. Các bạn hãy tìm m để hàm số nghịch biến trên R

*Trả lời

Vì có tham số ở hệ số bậc cao nhất chúng ta cần phải xét trường hợp hàm số suy biến như sau: Khi m = 0, hàm số sẽ trở thành y = -x + 2. Đây chính là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vây m = 0 thỏa mã được yêu cầu bài toán

Với m khác 0, hàm số chính là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m<0 đồng thời m² + 3m(m+4)≤0.

Hướng dẫn cách xét tính đơn điệu của hàm số, xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số thông qua việc ôn tập lý thuyết, quy tắc để áp dụng vào giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Kiến thức về hàm số đơn điệu đã được đề cập tại các lớp học trước, tuy nhiên ở chương trình Toán 12, kiến thức này sẽ xuất hiện những dạng toán phức tạp hơn, đòi hỏi học sinh có kiến thức chắc hơn về hàm số. Kiến thức này cũng thường xuyên xuất hiện trong quá trình ôn thi toán tốt nghiệp THPT QG những năm gần đây, vậy nên hiểu rõ dạng bài này này là rất quan trọng để dễ dàng “ăn điểm” trong kỳ thi. Cùng VUIHOC tìm hiểu để dễ dàng giải các dạng bài tập về xét tính đơn điệu của hàm số nhé!

1. Lý thuyết tính đơn điệu của hàm số

1.1. Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y= f(x) xác định trên K (với K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng).

• Hàm số y=f(x) là đồng biến (tăng) trên K nếu .
• Hàm số y=f(x) là nghịch biến (giảm) trên K nếu

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.

1.2. Các điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu

1. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x)=0, K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) 0, K và f'(x)=0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

2. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

• Nếu f'(x) >0, K thì hàm số đồng biến trên khoảng K
• Nếu f'(x) <0, K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K
• Nếu f'(x)=0, K thì hàm số không đổi trên khoảng K

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

2.1. Tìm tập xác định

Để tìm tập xác định của hàm số y=f(x) là tập giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa ta có:

Nếu P(x) là đa thức thì:

có nghĩa

có nghĩa P(x) > 0

có nghĩa

2.2. Tính đạo hàm

Bảng công thức tính đạo hàm của hàm số cơ bản:

2.3. Lập bảng biến thiên

Giả sử ta có hàm số y = f(x) thì:

• f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số sẽ nghịch biến ở đấy.
• f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số sẽ đồng biến ở đấy.

Quy tắc chúng sẽ là:

• Ta tính f’(x), sau đó giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.
• Lập bảng xét dấu f’(x).
• Sau đó dựa vào bảng xét dấu và kết luận

2.4. Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Đây là bước quan trọng, ở bước này các em sẽ kết luận được sự đồng biến nghịch biến của hàm số trên khoảng nào. Để hiểu rõ hơn thì cùng tham khảo những ví dụ dưới đây nhé!

Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Giải:

TXĐ: D= R, , y’= 0

x= 2 hoặc x= 4

Ta có bảng biến thiên:

Kết luận hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ; 2)$ và $(4;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng (2;4)

3. Giải các dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m

* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên TẬP XÁC ĐỊNH

Phương pháp:

• Đối với hàm đa thức bậc ba: .

Tính , khi đó

• Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R và
• Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R và
• Đối với hàm phân thức bậc nhất:

Tính khi đó:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y’>0 hay (ad-bc)>0
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y’<0 hay (ad-bc)<0

Ví dụ: Cho hàm số: . Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

Lời giải:

• TXĐ: D = R
• Tính

Đặt có a = 3; b = -6m; c= 3(2m-1);

Để hàm số đồng biến trên TXĐ khi và chỉ khi:

và

và

Kết luận: Vậy với m = 1 thì hàm số đồng biến trên tập xác định D = R

* Hàm số đồng biến, nghịch biến trên KHOẢNG CHO TRƯỚC

Phương pháp:

• Bước 1: Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).
• Bước 2: Tính f'(x) và tìm điều kiện của tham số để hoặc trên khoảng (a;b) theo yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Cho hàm số (*)

Tìm m để hàm số đồng biến trên .

• Để hàm số đồng biến trên thì .

• Đặt
• Cho . Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có

Min

3.2. Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=|f(x)|

• f(x) cụ thể cho trước. VD:
• f(x) có tham số dạng tách rời. VD:

Bước 1: Khảo sát và lập bảng biến thiên của f(x)

Bước 2: Dùng phép suy bảng biến thiên của hàm số |f(x)|

• Giữ nguyên phần nằm trên y = 0
• Lấy đối xứng qua y = 0 phần bên dưới
• Nhìn vào bảng biến thiên của |f(x)| suy ra đồng biến, nghịch biến

Ví dụ:

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

Giải:

Xét hàm số:

Ta có , f’(x) = 0 x= 0 hoặc x=2

Bảng biến thiên của hàm số f(x)

Vì đồ thị hàm số y=f(x) có được nhờ giữ nguyên phần đồ thị hàm số của y= f(x) ở trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở dưới lên trên qua trục Ox

Nên hàm số y=f(x) đồng biến trên

Đăng ký ngay để sở hữu bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài đạt 9+ thi Toán THPT Quốc Gia

3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số trên 1 khoảng

Tìm m để hàm số đồng biến trên [-1;3].

• Để hàm số nghịch biến trên [-1;3] thì f’(x)
• .

.

• Đặt
• Cho . Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có:

⇒

Kết luận: Vậy với thì hàm số sẽ đồng biến trên khoảng [-1;3]

Bài tập tính đơn điệu của hàm số

Câu số 1: Hàm số y = -x3 + 3x2 - 1 đồng biến trên khoảng nào?

2. (0; 2)

4. R

Câu số 2: Các khoảng đồng biến của hàm số y = 2x3 - 6 là

2. (-1; 1)

3. [-1; 1)

4. (0; 1)

Câu số 3: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 - 3x -1 là:

3. (-1; 1)

4. (0; 1)

Câu số 4: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 2x3 - 6x + 20 là

2. (-1; 1)

3. [-1; 1]

4. (0; 1)

Câu số 5: Các khoảng đồng biến của hàm số y = -x3 + 3x2 + 1

2. (0; 2)

3. [0; 2]

4. R

Câu số 6: Các khoảng đồng biến của hàm số có dạng y = x3 - 5x2 + 7x - 3 là:

3. [-5; 7]

4. (7; 3)

Câu số 7: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 - 6x2 + 9x là:

2. (1; 3)

Câu số 8: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = x3 - x2 + 2 là:

Câu số 9: Các khoảng đồng biến của hàm số y = 3x - 4x3

Câu số 10: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = 3x - 4x3

Câu số 11: Các khoản đồng biến của hàm số y = x3 -12x + 12 là

2. (-2; 2)

Câu số 12: Hàm số y = -x3 + 3x2 + 9x nghịch biến trên khoảng nào

1. R

4. (-1; 3)

Câu số 13: Hàm số đồng biến trên

1. và

2. và

3. và

Câu số 14: Khoảng nghịch biến của hàm số là

1. R

3. và

4. và

Câu số 15: Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây là đúng. Hàm số có dạng

1. Hàm số đồng biến trên (-2; 3)

2. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 3)

3. Hàm số đồng biến trên khoảng

4. Hàm số nghịch biến trên khoảng

\>> Tham khảo thêm:

• Cách xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn và bài tập
• Cách xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác và bài tập trắc nghiệm

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và cách xét tính đơn điệu của hàm số thường gặp. Tuy nhiên nếu em muốn đạt kết quả thì hãy làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Em có thể truy cập Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề! Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia sắp tới.