So sánh bậc của các vô cùng bé

1. Định nghĩa:

Hàm  được gọi là lượng vô cùng bé (infinitesimal – VCB) khi nếu

Ví dụ: , , , , là các VCB khi .

Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình thay vì quá trình .

Quy ước: quá trình thay ta gọi chung là trong 1 quá trình.

2 Định lý:

Trong 1 quá trình, khi và chỉ khi là VCB trong quá trình đó.

3 Tính chất: Trong 1 quá trình:

1. Nếu là VCB, C là hằng số thì là VCB.

2. Nếu là một số hữu hạn các VCB thì tổng … + cũng là VCB.

3. Nếu là VCB và f(x) là hàm bị chặn thì tích cũng là VCB.

4. So sánh hai lượng VCB:

Cho f, g là hai lượng VCB trong 1 quá trình.

Giả sử

Nếu k = 0 thì f là VCB bậc lớn hơn g. Ký hiệu: (hoặc )

Nếu thì g là VCB bậc lớn hơn f. Ký hiệu

Nếu thì f, g là hai VCB cùng bậc. Đặc biệt, nếu k = 1 thì ta nói f, g là VCB tương đương. Ký hiệu:

Nếu không tồn tại giới hạn thì ta nói f , và g không so sánh được với nhau .

Ví dụ:

1. là hai VCB ngang cấp khi .

2. 1 – cosx là VCB cấp cao hơn x khi .

5. Các VCB bé tương đương cần chú ý:

Nếu thì:

, , ;

, ,

6. Khử dạng vô định:

6.1 Tính chất 1:

Nếu , thì

Chứng minh

Thật vậy:

Ví dụ:

6.2 Tính chất 2:

Nếu trong 1 quá trình thì .

Như vậy tổng của hai VCB tương đương với VCB có cấp thấp hơn.

Ví dụ:

1.

2.

3.

4.

5.