Trong nội dung chương trình Đại số lớp 9, các em sẽ được tiếp xúc với hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Nó là bài học cần thiết để các em áp dụng trong các bài học về giải phương trình. Bài viết hôm nay, Toppy sẽ giúp các em nắm được khái niệm, hiểu được tập hợp nghiệm và quan trọng hơn là có thể áp dụng giải các bài tập thường gặp nhất.
Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
Trong đó, ax+by=c và a’x+b’y=c là phương trình bậc nhất hai ẩn. Để hiểu phương trình bậc nhất 2 ẩn là gì, các em cần nhớ lại kiến thức của bài học trước. Nó dạng phương trình có dạng phương trình có dạng ax + by = c, trong đó a,b,c là những số cho trước a≠0 hoặc
b ≠0.
Trong hệ hai phương trình hai ẩn này, nếu cả hai phương trình thuộc hệ có nghiệm chung thì lúc này nghiệm chung tìm được sẽ là nghiệm của hệ phương trình. Tuy nhiên, các em cũng sẽ gặp trường hợp chẳng tìm được nghiệm nào của phương trình cả. Lúc này, chúng ta nói hệ phương trình này vô nghiệm. Nếu hệ hai phương trình có cùng tập hợp nghiệm thì sẽ có hệ phương trình cùng tập hợp nghiệm.
Khi đi giải hệ phương trình tức là chúng ta đang đi tìm nghiệm của hệ phương trình đó. Thế nên khi gặp bài giải hệ phương trình thì tức là đang yêu cầu các em đi tìm nghiệm của hệ phương trình nhé.
Minh họa hình học tập nghiệm của hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn
Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ được biểu diễn bởi các tập hợp điểm chung của hai đường thẳng sau: ax+by=c [d] và a’x+b’y=c [d’].
Chúng ta có 3 trường hợp xảy ra, gồm:
Trường hợp 1: d ∩ d’ = A[x0, y0] tương đương hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x0;y0]
Trường hợp 2: d//d’ thì hệ phương trình vô nghiệm và ngược lại
Trường hợp 3: d=d’ thì hệ phương trình có vô số nghiệm và ngược lại.
Minh họa mô hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn
Cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ được giải bằng hai phương pháp, cũng giống như hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trước tiên là giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, sau đó là phương pháp thế.
Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số
Phương pháp thế là phương pháp đầu tiên được thực hiện. Ở phương pháp này, quy tắc được đưa ra là biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Để thực hiện được phép biến đổi này, trước tiên, các em cần cộng hay trừ từng vế phương trình của hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình hai ẩn mới. Sau đó, hãy dùng phương trình mới vừa ra được thay thế cho một trong hai phương trình của hệ, nhớ là giữ nguyên phương trình còn lại.
Quy tắc này cần được thực hiện đúng thì các em mới giải được bằng phương pháp cộng đại số đúng. Các em nên thực hiện bài toán bằng cách trải qua các bước sau:
- Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình trong hệ phương trình với một số thích hợp, sao cho hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
- Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số chúng ta vừa nêu ở trên để cho ra kết quả là một hệ phương trình mới, trong đó lưu ý, một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 [tức là phương trình một ẩn, chứ không phải hai ẩn]
- Bước 3: Lúc này, phương trình đã là phương trình một ẩn rồi, các em áp dụng cách giải của phương trình một ẩn để tìm ra nghiệm đã cho.
Để hiểu hơn cách áp dụng của phương pháp này, các em theo dõi cách giải bài toán bằng ví dụ sau đây.
Bài tập ví dụ về cách giải phương trình bậc 2 hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số
Giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế
Quy tắc mà các em cần phải nhớ khi sử dụng phương pháp thể để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chính là dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình mới tương đương. Quy tắc này được thể hiện thông qua hai bước. Đầu tiên, với hệ phương trình đã cho, ta cần biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ 2 để tạo ra một phương trình mới [phương trình một ẩn]. Sau đó, dùng phương trình mới này thay thế cho phương trình thứ 2 trong hệ.
Như vậy, để giải theo phương pháp thế, cần làm theo cách sau:
- Bước 1: Sử dụng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho sang một hệ phương trình mới, trong đó bắt buộc phải xuất hiện một phương trình một ẩn.
- Bước 2: Giải hệ phương trình một ẩn và tìm kiếm nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Với cách giải này, các em sẽ tìm ra nghiệm của hệ phương trình một cách nhanh chóng.
Ví dụ về phương pháp thế và cách giải
Như vậy, các em đã vừa cùng Toppy tìm hiểu xong khái niệm cũng như các phương pháp giải của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi. Đây là một kiến thức toán quan trọng cần nắm chắc. Hy vọng thông qua bài học, các em dễ dàng làm được các bài tương tự nhé.
Tìm hiểu thêm:
Định nghĩa [edit]
Phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] là hệ thức có dạng
\[ax+by=c\]
trong đó \[a,\ b\] và \[c\] là các số đã biết \[[a \neq 0\] hoặc \[b \neq 0]\], \[x\] và \[y\] là ẩn.
Ví dụ 1:
1] \[3x+y=2\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] với \[a=3,\ b=1\] và \[c=2\].
2] \[5x+0y=8\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x\] và \[y\] với \[a=5,\ b=0\] và \[c=8\].
3] \[-x^2+y=4\] không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn \[x\] có bậc \[2\].
Nghiệm [edit]
Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là các cặp giá trị \[[x_1; y_1],\ [x_2; y_2],\ \dots \] của hai ẩn số \[x\] và \[y\] thỏa mãn tính chất: khi thay vào phương trình thì giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế của phương trình bằng nhau.
Cặp \[[x_1; y_1]\] là một nghiệm của phương trình \[ax+by=c\] khi và chỉ khi \[ax_1+by_1=c.\]
Khi đó ta viết phương trình đã cho có nghiệm là \[[x; y]=[x_1; y_1].\]
Ví dụ 2:
1] Cặp số \[[2; -1]\] là nghiệm của phương trình \[x+3y=-1\] \[[1]\]
Thay \[x=2,\ y=-1\] vào biểu thức ở vế trái \[VT=x+3y\], ta được:
Mà vế phải \[VP=-1\].
Suy ra \[VT=VP\].
Vậy \[[2; -1]\] là nghiệm của phương trình \[[1]\]. \[\square\]
2] Cặp số \[[5; -2]\] cũng là nghiệm của phương trình \[[1]\].
Thay \[x=5,\ y=-2\] vào biểu thức ở vế trái \[x+3y\], ta được:
Mà vế phải \[VP=-1\].
Suy ra \[VT=VP\].
Vậy \[[5; -2]\] cũng là nghiệm của phương trình \[[1]\]. \[\square\]
Tập nghiệm [edit]
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là tập tất cả các nghiệm của phương trình.
Hai phương trình tương đương
Hai phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm [hoặc có tập nghiệm giống nhau].
Chú ý:
- Khi viết \[[x_1; y_1]\] là nghiệm của phương trình ta luôn hiểu rằng \[x=x_1\] và \[y=y_1\].
- Mỗi nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm. Nghiệm \[[x_1; y_1]\] được biểu diễn bởi điểm có tọa độ là \[[x_1; y_1]\].
- Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.
Các phép biến đổi [edit]
Quy tắc chuyển vế
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân
Trong một phương trình, ta có thể nhân [chia] cả hai vế với cùng một số khác \[0\].
Cách giải [edit]
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm. Mỗi nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm. Tập hợp các nghiệm của phương trình được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng.
Xét phương trình bậc nhất hai ẩn \[ax+by=c\ \ [2]\] với \[a \neq 0\] hoặc \[b \neq 0\].
+] TH1: \[a \neq 0\] và \[b \neq 0\].
Chia cả hai vế của \[[2]\] cho \[b\], ta được:
\[ax+by=c\]
\[\Leftrightarrow by=-ax+c\]
\[\Leftrightarrow y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\]
Với mỗi giá trị của \[x\] ta nhận được một giá trị tương ứng của \[y\].
Do đó phương trình \[[2]\] có vô số nghiệm.
Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:
\[\left\{\begin{array}{ll} x \in \mathbb{R}\\ y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\end{array} \right. \]
Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\].
+] TH2: \[a=0\] và \[b \neq 0\].
Chia cả hai vế của \[[2]\] cho \[b\], ta được:
\[ax+by=c\]
\[\Leftrightarrow by=c\]
\[\Leftrightarrow y=\dfrac{c}{b}\]
Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:
\[\left\{\begin{array}{ll} x \in \mathbb{R}\\ y=\dfrac{c}{b} \end{array} \right. \]
Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[y=\dfrac{c}{b}\] song song [hoặc trùng] với trục hoành.
+] TH3: \[a \neq 0\] và \[b=0\].
Chia cả hai vế cho \[a\], ta được:
\[ax+by=c\]
\[\Leftrightarrow ax=c\]
\[\Leftrightarrow x=\dfrac{c}{a}\]
Nghiệm tổng quát của phương trình \[[2]\] là:
\[\left\{\begin{array}{ll} x=\dfrac{c}{a} \\ y \in \mathbb{R} \end{array} \right. \]
Tập nghiệm của phương trình \[[2]\] được biểu diễn bởi đường thẳng \[x=\dfrac{c}{a}\] song song [hoặc trùng] với trục tung.
Khoảng cách từ đường thẳng đến gốc tọa độ [edit]
Xét đường thẳng \[[d]:\ ax+by=c\] giao với hai trục tọa độ tại điểm \[A\] và \[B\] như hình vẽ:
Ta có \[A\left[0; \dfrac{c}{b} \right]\] và \[B \left[\dfrac{c}{a}; 0 \right]\] \[\Rightarrow OA=\left| \dfrac{c}{b} \right|\] và \[OB=\left| \dfrac{c}{a} \right| \].
Kẻ đường cao \[OH \bot AC\] với \[H \in AC\].
Khi đó, hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông \[\Delta OAB\] là:
\[\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2} +\dfrac{1}{OB^2}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{OH^2}= \dfrac{b^2}{c^2} + \dfrac{a^2}{c^2}\]
\[\Leftrightarrow \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{a^2+b^2}{c^2}\]
\[\Leftrightarrow OH=\dfrac{\sqrt{c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
\[\Leftrightarrow OH=\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. \]
Vậy khoảng cách từ đường thẳng \[ax+by=c\] đến gốc tọa độ là: \[\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\ \square\]
Tổng quát:
Khoảng cách từ đường thẳng \[ax+by=c\] đến gốc tọa độ \[O[0;0]\] được tính bởi công thức: \[\dfrac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\]
Page 2
Không có sự kiện nào sắp diễn ra
Page 3
Đường hướng và cách tiếp cận xây dựng khoá học
Khoá học được xây dựng dựa trên năng lực đầu ra của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo dành cho học sinh hết lớp 9. Mục tiêu của mỗi bài học được xây dựng bám theo thang tư duy mới của Bloom đi từ thấp lên cao, hướng tới khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng của học sinh. Các bài học về thành tố ngôn ngữ như Từ vựng, Phát âm, Ngữ pháp được xây dựng theo hướng tiếp cận lồng ghép, gắn kết với nhau và với chủ đề của bài học, tạo cho học sinh có thêm nhiều cơ hội sử dụng tiếng Anh. Các bài học về kỹ năng được xây dựng nhằm hình thành năng lực chủ đạo theo chương trình sách giáo khoa, đồng thời có mở rộng sang một số năng lực chưa được hướng dẫn kỹ càng trong sách giáo khoa. Các tiểu kỹ năng của năng lực đọc hiểu và viết được hướng dẫn chi tiết, cụ thể, theo từng bước nhỏ, giúp học sinh có khả năng hình thành được năng lực đọc và viết sau khi kết thúc bài học.
Nội dung khoá học
Khoá học bám sát chương trình sách giáo khoa tiếng Anh 9 [chương trình thí điểm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo] về chủ đề, chủ điểm, kỹ năng, kiến thức. Mỗi bài học được chia thành các nội dung chính: [1] Tóm tắt lý thuyết [Lesson summary]: hướng dẫn về kiến thức ngôn ngữ/ kỹ năng ngôn ngữ dưới dạng hình ảnh hoá hay sơ đồ tư duy để học sinh dễ dàng ghi nhớ kiến thức/ các bước kỹ năng. [2] Video bài giảng [phát âm]: video ngắn giúp học sinh ghi nhớ những kiến thức trọng tâm với sự hướng dẫn của thầy/ cô giáo. [3] Bài tập thực hành [practice task] giúp học sinh thực hành nội dung kiến thức, kỹ năng vừa được học. [4] Quiz: đây là hình thức đánh giá thường xuyên dưới dạng trặc nghiệm khách quan giúp giáo viên người học đánh giá được năng lực vừa được hình thành trong mỗi bài học. [5] Kiểm tra cả bài [unit test]: đây là hình thúc đánh giá tổng kết dưới dạng trắc nghiệm khách quan, và tự luận giúp giáo viên và người học đánh giá được năng lực được hình thành trong cả bài học lớn [unit].
Mục tiêu khoá học
Khoá học tiếng Anh 9 được xây dựng với mục đích hỗ trợ học sinh theo học chương trình tiếng Anh 6 mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo một cách cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Kết thúc mỗi bài học trong khoá học, học sinh có khả năng vận dụng được những kiến thức và kỹ năng học được trong chương trình sách giáo khoa mới vào những bối cảnh thực hành tiếng Anh tương tự.
Đối tượng của khóa học
Khóa học được thiết kế dành cho các em học sinh lớp 9, tuy nhiên các em học sinh lớp trên vẫn có thể học để ôn lại kiến thức, hoặc sử dụng để tra cứu các kiến thức đã quên.
- Người quản lý: Nguyễn Huy Hoàng
- Người quản lý: Phạm Xuân Thế