- LG a
- LG b
- LG c
Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính
LG a
\[\cos {67^0}{30'}\] và \[{\rm{cos7}}{{\rm{5}}^0}\];
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[{67^0}30' = \dfrac{{{{135}^0}}}{2}\]
\[\cos {135^0} = \cos \left[ {2.\dfrac {{{{135}^0}}}{2}} \right]\] \[ = 2{\cos ^2}\dfrac {{{{135}^0}}}{2} - 1 \]
\[\Rightarrow {\cos ^2}\dfrac {{{{135}^0}}}{2} \] \[= \dfrac {1}{2}\left[ {1 + \cos {{135}^0}} \right] \] \[= \dfrac {1}{2}.\left[ {1 - \dfrac {{\sqrt 2 }}{2}} \right]\]
\[ \Rightarrow \cos {67^0}30' \] \[= \sqrt {\dfrac {1}{2}.\left[ {1 - \dfrac {{\sqrt 2 }}{2}} \right]}\] \[ = \dfrac {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\]
\[\cos {75^0} = \cos \left[ {{{45}^0} + {{30}^0}} \right]\] \[ = \cos {45^0}\cos {30^0} - \sin {45^0}\sin {30^0} \] \[= \dfrac {{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac {{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac {{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac {1}{2} \] \[= \dfrac {{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\]
LG b
\[\dfrac{{\cot {{15}^0} + 1}}{{2\cot {{15}^0}}}\];
Lời giải chi tiết:
\[\cot {30^0} = \dfrac{1}{{\tan {{30}^0}}} \] \[= 1:\tan \left[ {{{2.15}^0}} \right] \] \[= 1:\dfrac{{2\tan {{15}^0}}}{{1 - {{\tan }^2}{{15}^0}}} \] \[= \dfrac{{1 - {{\tan }^2}{{15}^0}}}{{2\tan {{15}^0}}} \] \[= \dfrac{{\left[ {1 - {{\tan }^2}{{15}^0}} \right]{{\cot }^2}{{15}^0}}}{{2\tan {{15}^0}{{\cot }^2}{{15}^0}}} \] \[= \dfrac{{{{\cot }^2}{{15}^0} - 1}}{{2\cot {{15}^0}}}\]
Đặt \[x = \cot {15^0}\] và chú ý rằng \[\cot{30^0} = \sqrt 3 \] ta có
\[\sqrt 3 = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{2x}} \Leftrightarrow {x^2} - 2\sqrt 3 - 1 = 0\].
Giải phương trình trên ta được \[x = 2 + \sqrt 3 \] hay \[\cot 15^0=2 + \sqrt 3 \]
[nghiệm \[x = \sqrt 3 - 2\] loại vì \[\cot {15^0} > 0\]].
Do đó
\[\dfrac{{{{\cot }}{{15}^0} + 1}}{{2\cot {{15}^0}}} \] \[= \dfrac{{2 + \sqrt 3 + 1}}{{2[2 + \sqrt 3 ]}} \] \[= \dfrac{{3 + \sqrt 3 }}{{2[2 + \sqrt 3 ]}}\] \[ = \dfrac{{3 - \sqrt 3 }}{2}\].
LG c
\[\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0}\];
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0}\] \[= \tan {20^0}\tan {40^0}\tan \left[ {{{180}^0} - {{100}^0}} \right]\]
\[ = - \tan {20^0}\tan {40^0}\tan {100^0}\]
\[ = - \tan [{60^0} - {40^0}]\tan {40^0}\tan [{60^0} + {40^0}]\]
\[= - \frac{{\tan {{60}^0} - \tan {{40}^0}}}{{1 + \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\tan {40^0}\frac{{\tan {{60}^0} + \tan {{40}^0}}}{{1 - \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\]
\[\begin{array}{l}
= - \frac{{\left[ {\tan {{60}^0} - \tan {{40}^0}} \right]\left[ {\tan {{60}^0} + \tan {{40}^0}} \right]\tan {{40}^0}}}{{\left[ {1 + \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}} \right]\left[ {1 - \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}} \right]}}\\
= - \frac{{{{\tan }^2}{{60}^0} - {{\tan }^2}{{40}^0}}}{{1 - {{\tan }^2}{{60}^0}{{\tan }^2}{{40}^0}}}.\tan {40^0}
\end{array}\]
\[= - \dfrac{{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}}}{{1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}\tan {40^0} \] \[= - \tan {120^0} = \sqrt 3 \]
[Áp dụng bài 17d ôn tập cuối năm]
\[\dfrac{{\tan 3a}}{{\tan a}} = \dfrac{{3 - {{\tan }^2}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}\]
Ta có: \[\dfrac{{\tan {{120}^0}}}{{\tan {{40}^0}}} = \dfrac{{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}}}{{1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}\] hay \[\tan {120^0} = \frac{{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}}}{{1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}.\tan {40^0}\] ]