- LG a
- LG b
Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằnga, chiều caoSHbằng \[{a \over 2}.\]
LG a
Chứng minh rằng tồn tại mặt cầu tâmHtiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kínhRcủa mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
GọiIlà trung điểm củaBCthì \[HI = {a \over 2} = SH.\]
GọiJlà trung điểm củaSIthì \[HJ \bot SI,\] mặt khác \[HJ \bot BC\], vậy \[HJ \bot mp[SBC]\] đồng thời \[HJ = {{SI} \over 2} = {1 \over 2}.{a \over 2}\sqrt 2 = {{a\sqrt 2 } \over 4}.\]
Tương tự, ta có khoảng cách từHtới các mặt bên của hình chóp đã cho cũng bằng \[{{a\sqrt 2 } \over 4}.\]
Như vậy, mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên của hình chópS.ABCD.
LG b
Gọi [P] là mặt phẳng song song vớimp[ABCD] và cáchmp[ABCD]một khoảngx [0 < x < R].Gọi Stdlà diện tích thiết diện tạo bởimp[P]và hình chóp bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác địnhxđể \[{S_{td}} = \pi {R^2}.\]
Lời giải chi tiết:
GọiH1là giao điểm của [P]vàSHthì \[H{H_1} = x,0 < H{H_1} < R\] và thiết diện của hình chóp với[P]là hình vuông \[{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\] Khi ấy
\[{{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}} \over {{S_{ABCD}}}} = {\left[ {{{{a \over 2} - x} \over {{a \over 2}}}} \right]^2} = {{{{\left[ {a - 2x} \right]}^2}} \over {{a^2}}}.\]
Từ đó \[{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {[a - 2x]^2}.\]
Ta có [P] cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn bán kính r được tính bởi \[{r^2} = {R^2} - {x^2}\] hay \[{r^2} = {{{a^2}} \over 8} - {x^2} = {{{a^2} - 8{x^2}} \over 8},\] từ đó diện tích hình tròn thu được là \[{1 \over 8}\pi \left[ {{a^2} - 8{x^2}} \right].\]Vậy
\[\eqalign{ {S_{td}} &= {[a - 2x]^2} - {1 \over 8}\pi [{a^2} - 8{x^2}] \cr&= {1 \over 8}\left[ {8{{[a - 2x]}^2} - \pi [{a^2} - 8{x^2}]} \right]. \cr & \cr} \]
Ta có
\[\eqalign{ & {S_{td}} = \pi {R^2} = {1 \over 8}\pi {a^2} \cr&\Leftrightarrow 8{[a - 2x]^2} - \pi {a^2} + 8\pi {x^2} = \pi {a^2} \cr & \Leftrightarrow 4\left[ {{{[a - 2x]}^2} + \pi {x^2}} \right] = \pi {a^2} \cr & \Leftrightarrow x = {{4a - \pi a} \over {8 + 2\pi }} \cr} \]
[vì \[0 < x < R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\]].