I. Các kiến thức cần nhớ
Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
Nhận xét 1:
+ Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
+ Hình vuông là hình thoi có một góc vuông.
Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.
Tính chất:
+ Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
+ Đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau
Dấu hiệu nhận biết:
+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông
+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
Nhận xét 2:
Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông.
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình vuông.
Phương pháp:
Ta sử dụng các dấu hiệu nhận biết:
+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông
+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
Dạng 2: Vận dụng kiến thức về hình vuông để chứng minh và giải các bài toán cơ bản: chứng minh một tứ giác là hình vuông,tìm thêm điều kiện của đề bài để một tứ giác là hình vuông, tính độ dài…
Phương pháp:
Ta sử dụng định nghĩa và các tính chất của hình vuông.
+ Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
+ Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
+ Đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau
Lý thuyết và bài tập hình vuông lớp 8
Nhằm giúp các bạn học sinh lớp 8 có thêm nhiều tư liệu học tập Download.vn giới thiệu Chuyên đề Hình vuông.
Tài liệu tổng quát toàn bộ kiến thức lý thuyết như: định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và bài tập về hình vuông Toán 8. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm chuyên đề Hình thoi. Sau đây là nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo và tải tài liệu tại đây.
Lý thuyết và bài tập hình vuông lớp 8
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
Tổng quát: ABCD là hình vuông
Nhận xét:
+ Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau.
+ Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông.
+ Hình vuông vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.
2. Tính chất
Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông
+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.
+ Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác một góc là hình vuông.
+ Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
+ Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A [D ∈ BC ]. Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông.
II. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD.
a. Chứng minh tứ giác APQD và PBCQ là hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh PHQK là hình vuông
Bài 2: Cho hình chữ nhật MNRS có MN = 2MS. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của MN;SR.
a. Chứng minh tứ giác MPQS và PNRQ là hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của MQ và SP. Gọi K là giao điểm của RP và NQ. Chứng minh PHQK là hình vuông
Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 10cm và AD = 5cm. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD.
a. Chứng minh tứ giác APQD và PBCQ là hình vuông
b. Gọi H là giao điểm của AQ và DP. Gọi K là giao điểm của CP và BQ. Chứng minh PHQK là hình vuông
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến AB, AC.
a. Chứng minh AMDN là hình vuông
b. Gọi P đối xứng với D qua M. Chứng minh ADBP là hình thoi
c. NMPA là hình bình hành
Bài 5: Cho tam giác EFK vuông tại E. Đường phân giác ED. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến EF, EK.
a. Chứng minh EMDN là hình vuông
b. Gọi P đối xứng với D qua M. Chứng minh EDFP là hình thoi
c. NMPE là hình bình hành
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác AD. Gọi M, N theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ D đến AB, AC.
d. Chứng minh AMDN là hình vuông
e. Gọi P đối xứng với D qua M. Tính độ dài DP biết AC = 10cm
f. NMPA là hình bình hành
Bài 7: Cho hình thang vuông ABCD có góc A bằng góc D và cùng bằng 90. AB = 3cm, AD = 8cm. CD = 5cm. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi K là hình chiếu của M trên CD. Chứng minh MNDK là hình vuông
Bài 8: Cho hình thang vuông ABCD có góc A bằng góc D và cùng bằng 90. AB = 6cm, AD = 16cm. CD = 10cm. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi K là hình chiếu của M trên CD. Chứng minh MNDK là hình vuông
Bài 9: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh CD, DA, sao cho AF = DE. Chứng minh AE = BF. Và AE vuông góc BF
Bài 10: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh CD, DA. Chứng minh AE = BF. Và AE vuông góc BF
Bài 11: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm của M, N, P, Q theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho AM = BN = CP = DQ Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao ?
Bài 12: Cho tam giác ABC. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E
a. Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao
b. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình chữ nhật
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M thuộc BC. Qua M dựng đường thẳng song song với AB cắt AC tại D, Qua M dựng đường thẳng song song với AC cắt AB tại E
c. Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao
d. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông
Bài 14:Cho vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với M qua I
a. Các tứ giác ANMC, AMBN là hình gì ? Vì sao ?
b. Cho AB = 4cm ; AC = 6cm. Tính diện tích tứ giác AMBN
c. Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì AMBN là hình vuông
Bài 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA.
a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
b. Hai đường chéo AC và BD của tứ giác cần có thêm điều kiện gì để MNPQ là hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông
Bài 16: Cho DABC vuông tại A, AB = 5cm, AC = 12cm, AM là trung tuyến.
a. Tính độ dài BC, AM.
b. Trên tia AM lấy điểm D đối xứng với A qua M. Chứng minh AD = BC. Tam giác vuông ABC cần có thêm điều kiện gì thì ABDC là hình vuông
Bài 17: Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Gọi AM là trung tuyến của tam giác.
a] Tính độ dài AM.
b] Kẻ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC. Tứ giác ADME có dạng đặc biệt nào ?
c] Tứ giác DECB có dạng đặc biệt nào ?
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH.
1. Chứng minh AH. BC = AB. AC.
2. Gọi M là điểm nằm giữa B và C. Kẻ MN AB, MP AC [ N AB, P AC].
Tứ giác ANMP là hình gì ? Tại sao?
3. Tính số đo góc NHP ?
4. Tìm vị trí điểm M trên BC để NP có độ dài ngắn nhất ?
Cập nhật: 23/10/2020
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Với Cách chứng minh tứ giác là hình vuông hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.
A. Phương pháp giải
Sử dụng một trong hai cách sau:
- Cách 1: Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có thêm dấu hiệu hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc hoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc.
- Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình thoi có thêm dấu hiệu có một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hình sau, tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
Giải
Tứ giác AEDF là hình vuông.
Theo hình vẽ thì
Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE.
a] Tứ giác ADFE là hình gì? Vì sao?
b] Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?
Giải
Đặt AD = a thì AB = 2a
Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABCD, ta được:
AE = EB = CF = FD = a.
a] Ta có EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên EF = a
⇒ AE = EF = DF = AD = a
Suy ra tứ giác ADFE có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Hình thoi ADFE có
b] Tứ giác MENF là hình vuông
Chứng minh tương tự câu a] ta cũng có tứ giác EBCF là hình vuông.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hai hình vuông ADFE và EBCF, ta được:
Tứ giác MENF có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật MENF lại có EF là đường phân giác của góc
Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.
Giải
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA [tính chất].
Gọi độ dài cạnh hình vuông là a và AM = BN = CP = DQ = x.
Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được:
Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.
Áp dụng tính chất về góc và kết quả hai tam giác bằng nhau vào hai tam giác MBN, NCP ta được:
Lại có góc BNC là góc bẹt hay
Từ [1] và [2] suy ra
Điều này chứng tỏ hình thoi MNPQ có một góc vuông nên nó là hình vuông.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:
A. Hình thoi có một góc vuông.
B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi.
Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.
Đáp án: D.
Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ, tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:
A. Hình thoi có một góc vuông.
B. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau.
C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
D. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
Từ hình vẽ ta thấy bốn cạnh của tứ giác này bằng nhau nên tứ giác này là hình thoi. Hình thoi này có một góc vuông nên nó là hình vuông.
Đáp án: A.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA [tính chất].
Mà AE = BF = CG = DH [gt] nên AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH
hay DG = CF = EB =AH.
nên HG = GF = HE = EF.
Vì HG = GF = HE = EF nên tứ giác EFGH là hình thoi.
Hình thoi EFGH có
Đáp án: D.
Câu 4. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác 4 góc đỉnh O cắt các cạnh AB, BC, CD, DA theo thứ tự ở E, F, G, H. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Vì ABCD là hình thoi nên
Mà OE, OF, OG, OH lần lượt là phân giác
Suy ra
nên H, O, F thẳng hàng.
Tương tự ta có: E, O, G thẳng hàng.
Xét
Tương tự ta có:
Từ [1] và [2] suy ra: tứ giác EFGH là hình bình hành vì có hai đường chéo EG; HF giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Lại xét
Suy ra: hình bình hành EFGH có hai đường chéo bằng nhau EG = HF nên EFGH là hình chữ nhật.
Lại có:
Hình chữ nhật EFGH có:
Đáp án: D.
Câu 5. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh BC lấy các điểm H, G sao cho BH = HG = GC. Qua H và G kẻ các đường vuông góc với BC, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F. Tứ giác EFGH là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Ta có: ΔABC vuông cân tại A nên
Xét tam giác vuông FGC có:
Suy ra ∆FGC là tam giác vuông cân tại
Chứng minh tương tự:
Xét tam giác vuông EHB có
Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H
Mà BH = HG = GC[gt] nên FG = EH = HG
Lại có:
Xét tứ giác EFGH có:
⇒Tứ giác EFGH là hình bình hành.
Mà
Mặt khác EH = HG [cmt] nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.
Đáp án: D.
Câu 6. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CB lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho DF = BE. Qua E kẻ Ex//AF, qua F kẻ Fy//AE. Gọi P là giao điểm của Ex và Fy. AEPF là hình gì?
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Xét hai tam giác ABE và ADF có:
AB = AD [do ABCD là hình vuông]
Mặt khác lại do EP//AF; FP//AE ⇒AEPF là hình bình hành [3]
Từ [1], [2], [3] ⇒ AEPF là hình vuông.
Đáp án: D.
Câu 7. Cho ΔABC vuông cân tại B. Từ điểm D thuộc cạnh AB vẽ
A. Hình chữ nhật.
B. Hình thoi.
C. Hình bình hành.
D. Hình vuông.
Từ giả thiết M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA ta suy ra:
MN là đường trung bình của ΔADF và
PQ là đường trung bình của ΔACF và
Từ [1] và [2] suy ra MNPQ là hình bình hành.
Mặt khác D là giao điểm của hai đường cao AB và FE trong tam giác AFC suy ra CD là đường cao còn lại
Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
ΔFEC vuông tại E và có
Xét hai tam giác ABF và CBD có:
BF = BD [cmt]
Do đó MNPQ là hình vuông.
Đáp án: D.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
- Giải bài tập Toán 8
- Giải sách bài tập Toán 8
- Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 8 có đáp án
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k8: fb.com/groups/hoctap2k8/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.