Có bao nhiêu điểm M thuộc d cách A(9;1) một đoạn bằng 5
Cho (( d ):( x = 2 + 3t y = 3 + t. right. ) . Hỏi có bao nhiêu điểm (M thuộc ( d ) ) cách (A( (9;1) ) ) một đoạn bằng 5. Show Câu 12164 Vận dụng Cho \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 3 + t.\end{array} \right.\) . Hỏi có bao nhiêu điểm \(M \in \left( d \right)\) cách \(A\left( {9;1} \right)\) một đoạn bằng $5.$ Đáp án đúng: d Phương pháp giải - Gọi tọa độ của \(M\) theo tham số. - Sử dụng công thức tính khoảng cách \(AM\) và kết luận. Một số bài toán viết phương trình đường thẳng --- Xem chi tiết ...Tìm điểm thuộc đường thẳng có độ dài thỏa mãn điều kiện
Trang trước Trang sau Quảng cáo
Để tìm được điểm (tham số m) thỏa mãn điều kiện T ta cần sử dụng các công thức sau: + Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 là: d(M; d) = + Khoảng cách hai điểm A(xA; yA) và B ( xB; yB) là: AB = + Để điểm M (x0; y0) cách đều hai đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’: a’x + b’y + c’ = 0 ⇔ d( M;d) = d( M;d’) ⇔ + Tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi AB = AC. Ví dụ 1. Cho d: A. M( Lời giải Lấy điểm M( 2 + 2t; 3 + t) nằm trên d ; AM→( 2 + 2t; t + 2) Để AM = 5 khi và chỉ khi (2t + 2)2 + (t + 2)2 = 25 hay 5t2 + 12t - 17 = 0 Suy ra t = 1 hoặc t = - + Với t = 1 thì M( 4; 4) + Với t = - ⇒ M2(- ; - ). Chọn C Quảng cáo
Ví dụ 2. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M(15; 1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ : A. √10 B. Lời giải + Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát: ∆: ⇒ ( ∆) : 1(x - 2) – 3( y - 0) = 0 hay x - 3y - 2 = 0 + Với mọi điểm N bất kì thuộc ∆ ta luôn có: MN ≤ d( M; ∆) ⇒ MNmin = d( M; ∆) = Chọn A. Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( -2; 2), B(4; -6) và đường thẳng . Tìm điểm M thuộc d: A. M( 3; 7) B. M( -3; -5) C. M( 2; 5) D. M( -2; -5) Lời giải Do điểmM thuộc đường thẳng d nên tọa độ M( t; 1 + 2t) MA2 = ( t + 2)2 + ( 2t - 1)2 và MB2 = (t - 4)2 + (2t + 7)2 Để MA = MB ⇔ AM2 = MB2 ⇔ ( t + 2)2 + (2t - 1)2 = (t - 4)2 + (2t + 7)2 ⇔ t2 + 4t + 4 + 4t2 - 4t + 1 = t2 - 8t + 16 + 4t2 + 28t + 49 ⇔ 20t = - 60 ⇔ t = -3 ⇒ Tọa độ điểm M ( -3; -5). Chọn B. Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(-1; 2) ; B(-3;2) và đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0. Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại C. A. C( -2; -1) B. C( 1; -2) C. C( -1; 1) D. C(0; 3) Lời giải Gọi tọa độ điểm C(x;y) . + Do điểm C thuộc đường thẳng d nên 2x - y + 3 = 0 ( 1) . + Ta có AC2 = ( x + 1)2 + ( y - 2)2 và BC2 = ( x + 3)2 + (y - 2)2 Để tam giác ABC cân tại C thì CA = CB ⇔ CA2 = CB2 ⇔ ( x + 1)2 + (y - 2)2 = (x + 3)2 + (y - 2)2 ⇔ x2 + 2x + 1 + y2 - 4y + 4 = x2 + 6x + 9 + y2 - 4y + 4 ⇔ - 4x = 8 (2). Từ( 1) và ( 2) ta có hệ phương trình : Vậy tọa độ điểm C(-2; -1). Chọn A. Quảng cáo
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A(-1;2) đến đường thẳng ∆: mx + y - m + 4 = 0 bằng 2√5 . A. m = 2 B. m = -2 hoặc m = Lời giải Khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆: d(A; Δ) = ⇔ |- 2m + 6| = 2√5. ⇔ |m - 3| = √5. ⇔ 4m2 + 6m - 4 = 0 ⇔ m = -2 hoặc m = Chọn B. Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng d1: A. m = -4 hoặc m = 2 B. m = - 4 hoặc m = -2 C. m = 4 hoặc m = 2 D. m = 4 hoặc m = -2 Lời giải + ta đưa đường thẳng d1 về dạng tổng quát: (d1 ): ⇒ phương trình d1: 1( x - 0) + 1 (y - 2) = 0 hay x + y - 2 = 0 + Giao điểm của d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình: Vậy giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là M(4 - m; m - 2) + Khi đó: OM = 2 ⇔ OM2 = 4 ⇔(4 - m)2 + (m - 2)2 = 4 ⇔ 16 - 8m + m2 + m2 - 4m + 4 = 4 ⇔2m2 - 12m + 16 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = 4 Chọn C. Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì đường thẳng Δ: A. m = ±1 B. m = 0 C. m = √2 D. m = Lời giải Để đường thẳng ∆ tiếp xúc đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng ∆ bằng bán kính R d(O; Δ) = R ⇔ Chọn A. Ví dụ 8: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho nó cách đều hai đường thẳng: A. (1; 0) B. (0; 0) C. (0; √2) D. (√2; 0) Hướng dẫn giải Gọi tọa độ điểm M( a;0) . Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là: d(M; d1) = để M cách đều hai đường thẳng khi và chỉ khi : = ⇒ Tọa độ điểm M ( 0; 0) Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hai điểm A( 1; 2) và B( 4; 6). Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 1 ? A. (0 ; Hướng dẫn giải + Độ dài đoạn AB = + Điểm M thuộc Oy nên tọa độ M ( 0; y). + Vì diện tích tam giác MAB bằng 1 nên S = AB.d( M;AB) = 1 ⇔ .5.d( M; AB) = 1 ⇒ d( M; AB) = + Phương trình đường thẳng AB: ⇒ Phương trình AB: 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0 ⇒ d( M; AB) = Vậy có hai điểm M thỏa mãn M(0; 0) hoặc M( 0; Chọn D. Ví dụ 10 : Cho ba điểm A(0; 1) ; B(12; 5) và C(-3; 0). Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A; B; C A. x - 3y + 4 = 0 B. –x + y + 10 = 0 C. x + y = 0 D. 5x - y + 1 = 0. Lời giải Cách 1 : Ta có : AB→( 12; 4); AC→( -3; -1) ⇒ AB→ = - 4AC→ ⇒ ba điểm A ; B và C thẳng hàng . ⇒ Nếu đường thẳng d cách đều 3 điểm A, B ; C thì nó phải song song hoặc trùng với AB. Đường thẳng (d) nhận vecto AC→( -3 ; -1) làm VTCP nên nhận vecto n→( 1 ; -3) làm VTPT ⇒ đường thẳng d có dạng : x - 3y + c = 0 Kiểm tra các phương án, ta thấy phương án A thỏa mãn Cách 2: Tính khoảng cách từ 3 điểm đến lần lượt các đường thẳng trong các phương án A, B, C, D. Chọn A. Ví dụ 11. Cho A(2; 2) ; B(5; 1) và đường thẳng ∆: x - 2y + 8 = 0 . Điểm C thuộc ∆ và C có hoành độ dương sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17. Tọa độ của C là A. (10; 12) B. (12 ; 10) C. ( 8; 8) D. (10; 8) Lời giải Phương trình đường thẳng AB: ⇒ ( AB) : 1(x - 2) + 3(y - 2) = 0 hay x + 3y – 8 = 0 Điểm Độ dài AB = D( C; AB)= Diện tích tam giác ABC là: S = AB.d(C; AB) = 17 ⇔ √10. = 17 ⇔ |5t - 16| = 34 ⇒ Mà C có hoành độ dương nên t = 10 ⇒ C( 12; 10) . Chọn B. Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;1) ; B( -2; 4) và đường thẳng ∆: mx - y + 3 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ∆ cách đều hai điểm A; B. A. m = 1 hoặc m = -2 B. m = -1 hoặc m = 2 C. m = 1 hoặc m = -1 D. m = 2 hoặc m = - 2
Đáp án: C Trả lời: + Để một đường thẳng ∆ cách đều hai điểm A và B thì ∆ // AB hoặc ∆ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. + Gọi d là đường thẳng song song với AB ⇒ d nhận AB→( -3; 3) VTCP nên nhận n→( 1; 1) làm VTPT ⇒ (d) có dạng : x + y + c = 0 Để d// ∆ ⇔ m/1= (-1)/1≠3/c ⇔ m= -1 và c ≠-3. ⇒ Với m = - 1 thì d//∆ nên ∆ cách đều hai điểm A và B + Gọi ( d’) là đường trung trực của đoạn AB. ( d’) : ⇒ Phương trình ( d’) : 1( x + ) - 1( y - ⇒ Để d’ trùng với ∆ thì m = 1. Khi đó; ∆ là đường trùng trực của AB nên ∆ cách đều hai điểm A và B. Vậy với m = 1 hoặc m = -1 thì đường thẳng ∆ cách đều hai điểm A và B Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A( 1; 1) ; B(4; - 3) và đường thẳng d: x - 2y - 1 = 0. Tìm điểm M thuộc d có tọa độ nguyên và thỏa mãn khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6. A. M( 3; 7) B. M( 7; 3) C. M( -43; -27) D. M(3; -
Đáp án: B Trả lời: + Phương trình đường thẳng AB: ⇒ ( AB) : 4(x - 1) + 3(y - 1) = 0 hay 4x + 3y - 7 = 0 + Lấy điểm M ( 2m + 1; m) thuộc d với m nguyên Khi đó để khoảng cách từ M đến AB bằng 6 thì: 6 = d(M; AB) = ⇔|11m - 3| = 30 ⇔ Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ oxy , cho điểm A( 0; 1) và đường thẳng A. M(-2; 1) B.
Đáp án: C Trả lời: Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ của M( 2 + 2t; 3 + t) với 2 + 2t < 0 hay t < -1 vì M có hoành độ âm Khi đó để M cách A một khoảng bằng 5 thì AM = 5 ⇔ AM2 = 25 ⇔( 2 + 2t)2 + (2 + t)2 = 25 ⇔ 4 + 8t + 4t2 + 4 + 4t + t2 = 25 ⇔5t2 + 12t - 17 = 0 ⇔ Với t = Câu 4: Biết rằng có đúng hai điểm thuộc trục hoành và cách đường thẳng A. -
Đáp án: A Trả lời: Điểm M ( x; 0) thuộc trục hoành. Do khoảng cách từ M đến ∆ là 2√5 nên d(M; Δ) = 2√5 ⇔ ⇔ Vậy có hai điểm thỏa mãn là M1( ; 0) và M2( Tích hoành độ của hai điểm đó là: . = - Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(3; -1) và B(0;3). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1. A. M( C. M( - ; 0) ;M( -1; 0) D. M( - ; 0) ;M( - ; 0)
Đáp án: A Trả lời: Phương trình ( AB): ⇒ ( AB) : 4( x - 3) + 3( y + 1) = 0 hay 4x + 3y - 9 = 0 Gọi điểm M thuộc trục hoành có tọa độ là ( x; 0) . Để khoảng cách từ M đến AB bằng 1 thì: 1 = d( M; AB) = ⇔ Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 0) và B( 0; -4) . Tìm điểm M thuộc trục tung sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6 A. M(0; 0) hoặc M(0; -8) B. M(0; - 8) C. M(6; 0) D. M(0; 0)
Đáp án: A Trả lời: + Phương trình AB theo đoạn chắn : + AB = + Gọi điểm M( 0; y) thuộc trục tung. ⇒ khoảng cách từ M đến AB là d( M; AB) = Để diện tích tam giác MAB là 6 thì: S = .AB.d( M; AB) = 6 ⇔ .5. = 6 ⇔ |3y + 12| = 12 ⇒ Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M(0; 0 ) hoặc M ( 0; -8) Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng (a): 3x - 2y - 6 = 0 và
A. M( -2; 0) B. M(-1; 0) C. M(1; 0) D. M(0; 0)
Đáp án: B Trả lời: D0 M thuộc trục hoành nên tọa độ M (x; 0) Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là: d( M; a) = Để điểm M cách đều hai đường thẳng a và b thì:
= ⇔ |3x - 6| = |3x + 12| ⇔3x - 6 = - 3x - 12 ⇔x = -1 ⇒ Điểm M ( -1; 0) . Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) ; B( 0; 3) và đường thẳng d: y = 2. Tìm điểm C thuộc d sao cho tam giác ABC cân tại B A. C(1; 2) B. C(4; 2) C. C(1; 2) hoặc C( -1; 2) D. C(-1; 2)
Đáp án: C Trả lời: Gọi toạ độ của điểm C( x; y) . Do C thuộc d nên y = 2. (1) Ta có: BA2 = (1 - 0)2 + (2 - 3)2 = 2 và BC2 = x2 + (y - 3)2 Để tạm giác ABC cân tại B thì BA = BC ⇔ BA2 = BC2 ⇔ 2 = x2 + (y - 3)2 (2) Từ ( 1) và (2) ta có hệ phương trình : ⇒ Có hai điểm C thỏa mãn đầu bài là C( 1; 2) hoặc C( -1; 2) Câu 9: Phương trình của đường thẳng qua P(2; 5) và cách Q(5; 1) một khoảng bằng 3 là: A. 7x + 24y - 13 = 0 . B. x = 2 C. x = 2 hoặc 7x + 24y – 134 = 0 . D. 3x + 4y - 5 = 0
Đáp án: C Trả lời: + Đường thẳng ∆ qua P( 2; 5) và có VTPT n→( a; b) . ⇒ Phương trình ∆: a(x - 2) + b(y - 5) = 0 hay ax + by – 2a – 5b = 0 + Khoảng cách từ điểm Q đến ∆: d(Q, ∆) = 3 ⇔ ⇔ -24ab + 7b2 = 0 ⇔ + Với b = 0, chọn a = 1 thì phương trình ∆ : x - 2 = 0. + Với b = Câu 10: Cho hai điểm A(3; -1) và B(0; 3) . Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB? A. ( -4; 0); (-3,5; 0) B. (2; 0) và (1; 0) C. (4; 0) D. (-4; 0) ; ( 8,5; 0)
Đáp án: D Trả lời: + Ta gọi tọa độ điểm M nằm trên trục Ox là M( a ; 0) + Phương trình đường thẳng AB : ⇒ Phương trình AB : 4(x - 3) + 3(y + 1) = 0 hay 4x + 3y - 9 = 0 + Độ dài đoạn AB = + Để khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng AB thì d( M; AB) = 5 ⇔ ⇔ Vậy có hai điểm M thỏa mãn là M ( 8,5; 0) và M( -4; 0) . Câu 11: Cho hai điểm A( 2; 3) và B(1; 4). Đường thẳng nào sau đây cách đều hai điểm A; B? A. x - y + 2 = 0 B. x - y + 100 = 0 C. x + 2y = 0 D. 2x - y + 10 = 0.
Đáp án: A Trả lời: Cách 1: Gọi d là đường thẳng cách đều 2 điểm A và B ta có: M(x; y) ∈ d ⇔ MA = MB ⇔ MA2 = MB2 ⇔ (x - 2)2 + (y - 3)2 = ( x - 1)2 + (y - 4)2 ⇔ x2 - 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = x2 - 2x + 1 + y2 - 8y + 16 ⇔2x - 2y + 4 = 0 hay x - y + 2 = 0 Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn AB ⇒ I( Gọi d là đường thẳng cách đều 2 điểm A và B suy ra d là đường trung trực của đoạn AB hoặc d// AB. + Viết đường trung trực d của AB : ⇒ d đi qua I( ; ) và nhận AB→( -1; 1) làm VTPT ⇒ d: -(x - ) + (y - ) = 0 ⇒ d: -x + y - 2 = 0 + Viết đường thẳng d’ song song với AB. ⇒ d’ nhận AB→( -1 ;1) làm VTCP và VTPT là n→(1 ; 1) ⇒ (d’) có dạng :x + y + c = 0. Trong các phương án chỉ có phương án A thỏa mãn. Câu 12: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng
A. (
Đáp án: D Trả lời: Điểm M nằm trên trục Ox nên tọa độ điểm M ( a ; 0) . Khoảng cách từ M đến hai đường thẳng là : d(M ; a) = Để M cách đều hai đường thẳng (a) và (b) khi và chỉ khi : = ⇔ |2a + 4|= |2a + 2| ⇔ ⇒ Điểm M( - ; 0) Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau Cho (d): x=2+3ty=3+t. Hỏi có bao nhiêu điểm M∈dcách A(9; 1) một đoạn bằng 5
A.1
B.0
C.3
D.2 Đáp án chính xác
Xem lời giải |
