Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 1/3x^3 mx^2 m 2 x 3 đồng biến trên r

Câu 492865: Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) trong đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\)để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} - mx - 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) bằng bao nhiêu?

A. \(49\).

B. \( - 49\). 

C. \( - 45\). 

D. \(45\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} + mx + 10\), có đạo hàm \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 6x + m\).

adsense

Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\)thì bảng biến thiên của hàm số trong \(y = f\left( x \right)\) khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\) phải có hình dạng như sau:

Trường hợp 1: Hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\)và không âm trên \(\left( { – 1;1} \right)\) tức là

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { – 1} \right) \ge 0\\f’\left( x \right) \ge 0\,,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 – m \ge 0\\m \ge 6x – 3{x^2}\,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 6\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 6.\)

Trường hợp 2: Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\)và không dương trên \(\left( { – 1;1} \right)\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { – 1} \right) \le 0\\f’\left( x \right) \le 0\,,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 – m \le 0\\m \le 6x – 3{x^2}\,\,\forall x \in \left( { – 1;1} \right)\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 6\\m \le – 9\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)

Xét \(g\left( x \right) = – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}\left( {2m + 3} \right){x^2} – \left( {{m^2} + 3m} \right)x + \frac{2}{3}\).

adsense

\(g’\left( x \right) = – {x^2} + \left( {2m + 3} \right)x – \left( {{m^2} + 3m} \right)\).

\(g’\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Hàm số \(\left| {g\left( x \right)} \right|\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1\,;\,2} \right)\) \( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \le 1 < 2 \le m + 3\\g\left( 2 \right) \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 3 \le 1\\g\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2 \le m\\g\left( 2 \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} – 1 \le m \le 1\\ – 2{m^2} – 2m + 4 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \le – 2\\ – 2{m^2} – 2m + 4 \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\ – 2{m^2} – 2m + 4 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} – 1 \le m \le 1\\m \in \left( { – \infty \,;\, – 2} \right] \cup \left[ {1\,;\, + \infty } \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \le – 2\\m \in \left[ { – 2\,;\,1} \right]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \in \left[ { – 2\,;\,1} \right]\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \,\left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = 1\end{array} \right.\).

Hàm số \[y = f\left( x \right)\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\] \( \Leftrightarrow \) \[f'\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}{\rm{,}}\forall x \in \mathbb{R}\] (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) \[ \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 9 \ge 0{\rm{ }}{\rm{,}}\forall x \in \mathbb{R}\].

\[ \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 9 \le 0{\rm{ ( do }}a = 1 > 0{\rm{)}}\] \[ \Leftrightarrow - 3 \le m \le 3\].

Do \[m \in \mathbb{Z}\] nên \[m \in \left\{ { - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3} \right\}\]

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\) đồng biến trên R.

• A. \(- 1 < m < 1\)
• B. \(- 1 \le m \le 1\)
• C. \(- 2 < m < 2\)
• D. \(- 2 \le m \le 2\)

Đáp án đúng: B

Ta có:   \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + x + 1\)

\(\Rightarrow y' = {x^2} + 2mx + 1\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l} y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 1 \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ \Delta ' = {m^2} - 1 \le 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 1 \le m \le 1 \end{array}\)