Công thức tính mặt cầu nội tiếp hình lập phương
Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh $a$ có thể tích là: A. Show
B. C. D.
Công thức mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương
Hình lập phương là khối đa diện đều có 6 mặt đều là các hình vuông bằng nhau, 12 cạnh có bằng nhau và có tất cả 8 đỉnh, 3 cạnh gặp nhau tại 1 đỉnh và 4 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm. Tính chất của hình lập phương Hình lập phương có các tính chất sau: - Hình lập phương có 6 mặt phẳng đối xứng bằng nhau - Hình lập phương có 12 cạnh bằng nhau - Đường chéo của các mặt bên đều bằng nhau - Đường chéo hình khối lập phương bằng nhau 2 . Các khái niệm cơ bản- Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu nó đi qua mọi đỉnh của đa diện. - Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu nó tiếp xúc với mọi mặt của đa diện. - Trục đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy. + Mọi điểm nằm trên trục đa giác đáy thì cách đều các đỉnh của đa giác đáy và ngược lại. - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn + Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng và ngược lại. 3. Mặt cầu nội, ngoại tiếp một số đa diện cơ bản- Hình hộp chữ nhật có mặt cầu ngoại tiếp, hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp. * Xác định tâm của mặt cầu: - Tâm của mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC' (tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật/ hình lập phương). * Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R - Bán kính mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật / hình lập phương. * Áp dụng công thức tính SC để tính diện tích. 4. Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phươngDiện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a là Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có bán kính mặt cầu ngoại tiếp Diện tích mặt cầu đó là: - Công thức tính thể tích khối cầu: 5. Công thức tính đường chéo hình lập phươngĐường chéo của hình lập phương Đường chéo của hình lập phương hợp với các đường cao tạo thành 1 tam giác vuông Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có công thức tính đường chéo D Trong đó: + D là độ dài đường chéo hình lập phương + d là độ dài đường chéo 1 mặt + a là độ dài cạnh hình lập phương Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là bài toán các bạn học sinh sẽ gặp trong các đề thi THPT Quốc gia. Để giúp học sinh ôn luyện thật tốt, Vuihoc mang đến cho bạn bài viết có đầy đủ lý thuyết và công thức về mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cùng các dạng bài tập ví dụ.
Khối đa diện đều có 6 mặt đều là các hình vuông bằng nhau, 12 cạnh bằng nhau và có 8 đỉnh, 3 cạnh gặp nhau tại 1 đỉnh và 4 đường chéo cắt nhau tại 1 điểm được gọi là hình lập phương. Hình lập phương là hình có: + Đỉnh A, đỉnh C, đỉnh B, đỉnh E, đỉnh D, đỉnh F, đỉnh G, đỉnh H. + 6 mặt là hình vuông. + 12 cạnh bằng nhau: BD = AB = DC = CH = CA = AE = DG = BF = FG = FE = EH = HG. Hình lập phương là hình có các tính chất sau:
2. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phươngĐể xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ta xác định như sau: Tâm mặt cầu chính là trung điểm của đoạn thẳng AC’ (là tâm đối xứng của hình lập phương). 3. Công thức tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình lập phươngBán kính mặt cầu được tính là: Bán kính R của mặt cầu = 1/2 độ dài đường chéo của hình lập phương/ hình hộp chữ nhật = $\frac{AC'}{2}$ Khi hình được cho là hình lập phương thì R = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 4. Công thức tính thể tích V khối cầu, diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lập phươngCông thức mặt cầu ngoại tiếp gồm có tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu, được quy định như sau: S = $4\pi R^{2}$ V=$\frac{4}{3}\pi a^{3}$ 5. Công thức tính đường chéo của hình lập phươngĐường chéo hình lập phương tạo với các đường cao h thành 1 tam giác vuông. Áp dụng định lý Pytago công thức tính đường chéo D là: D =$\sqrt{d^{2}+a^{2}}$ Trong đó: D: độ dài đường chéo d: độ dài đường chéo 1 mặt a: độ dài cạnh hình lập phương 6. Một số bài tập về mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương (kèm lời giải chi tiết)Bài 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a có diện tích bằng bao nhiêu? Giải
Bán kính R: IA =$\frac{1}{2}\sqrt{AA'^{2}+A'D'^{2}+A'B'^{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Diện tích S: S =$4\pi R^{2}=3\pi a^{2}$ Bài 2: Hình lập phương có cạnh bằng a. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp? Giải: Hình lập phương cạnh a có đường chéo bằng $a\sqrt{3}$. Bán kính R =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Bài 3: Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương biết hình lập phương có cạnh bằng a? Giải: Trung điểm của đường chéo AC’ có tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và R = IA =$\frac{A'C'}{a\sqrt{2}}$ Khối lập phương có cạnh a nên AA’ = a, A’C’=$a\sqrt{2}$. => AC'=$\sqrt{AA'^{2}+A'C'^{2}}=\sqrt{a^{2}+(a\sqrt{2})^{2}}=a\sqrt{3}$ Suy ra R =$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Vậy thể tích V =$\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}\pi $ Bài 4: Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp biết hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA=$a\sqrt{3}$, SA ⊥ (ABCD). Giải: Bán kính R hình vuông ABCD là: R =$\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}$ Do SA$\perp $(ABCD) nên SA $\perp $AB => tam giác SAB vuông tại A. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông SAB: SB =$\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=2a$ Ta có SA $\perp $(ABCD) nên SA là đường cao h của hình chóp. Áp dụng công thức tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD: R =$\sqrt{\frac{h^{2}}{4}+r^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}}=a$ S = $4\pi R^{2}=4\pi a^{2}$ Bài 5: Cho hình lập phương có cạnh bằng 2a. Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp đó bằng bao nhiêu? Giải: Gọi l và Q lần lượt là tâm của hình lập phương và hình vuông ABCD. AI là bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp. Ta có: AO =$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=a\sqrt{2}.OI=a$ => AI=$\sqrt{AO^{2}+OI^{2}}=a\sqrt{3}$ => R=$\sqrt{3}a$ Trên đây bài viết đã tổng hợp đầy đủ toàn bộ kiến thức về mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương. Hy vọng rằng các em học sinh, đặc biệt là các bạn sĩ tử sẽ ôn tập và trang bị đầy đủ kiến thức hơn để ôn thi thật tốt. Truy cập nền tảng học online Vuihoc.vn và đăng ký các lớp ôn thi cấp tốc nhé! >> Xem thêm: Toán 12: Lý thuyết phương trình mặt cầu và các dạng bài tập |
