Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[A = \sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bình phương biểu thức A, từ đó đánh giá GTLN dựa vào bđt Cô si \[2\sqrt {ab} \le a + b\] và GTNN dựa vào tính chất căn bậc hai \[\sqrt P \ge 0\].
Lời giải chi tiết
Điều kiện: \[1 x 4\]
Với \[1 x 4\], ta có:
\[{A^2} = {[\sqrt {x - 1} + \sqrt {4 - x} ]^2} \]
\[ = 3 + 2\sqrt {[x - 1][4 - x]} \] \[\le 3 + x - 1 + 4 - x = 6\]
[Theo bất đẳng thức Cô-si]
Suy ra: \[A \le \sqrt 6 \]
Dấu = xảy ra khi \[x 1= 4 x \] \[ \Rightarrow x = {5 \over 2}\] [thỏa mãn điều kiện : \[1 x 4\]]
Vậy giá trị lớn nhất của A là \[\sqrt 6 \] đạt được khi \[x = {5 \over 2}\].
\[{A^2} = 3 + 2\sqrt {[x - 1][4 - x]} \ge 3\]
vì \[\sqrt {[x - 1][4 - x]} \ge 0\]
Vậy \[A \ge \sqrt 3 \] đạt được khi x=1 hoặc x=4.