Ma trận hiệp phương sai chéo python

>>> x = [-2. 1, -1, 4. 3] >>> y = [3, 1. 1, 0. 12] >>> X = np. ngăn xếp((x, y), trục=0) >>> np. mảng cov(X)([[11. 71 , -4. 286 ], # có thể thay đổi [-4. 286 , 2. 144133]]) >>> np. mảng cov(x, y)([[11. 71 , -4. 286 ], # có thể thay đổi [-4. 286 , 2. 144133]]) >>> np. mảng cov(x)(11. 71)

Ma trận hiệp phương sai là một loại ma trận được sử dụng để mô tả các giá trị hiệp phương sai giữa hai mục trong một vectơ ngẫu nhiên. Nó còn được gọi là ma trận phương sai-hiệp phương sai vì phương sai của từng phần tử được biểu diễn dọc theo đường chéo chính của ma trận và hiệp phương sai được biểu diễn giữa các phần tử không thuộc đường chéo. Ma trận hiệp phương sai thường là ma trận vuông. Nó cũng bán xác định dương và đối xứng. Ma trận này có ích khi nói đến mô hình ngẫu nhiên và phân tích thành phần nguyên tắc

Ma trận hiệp phương sai là gì?

Ma trận phương sai-hiệp phương sai là một ma trận vuông với các phần tử đường chéo biểu thị phương sai và các thành phần không thuộc đường chéo biểu thị hiệp phương sai. Hiệp phương sai của một biến có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào - dương, âm hoặc bằng không. Hiệp phương sai dương cho thấy rằng hai biến có mối quan hệ tích cực, trong khi hiệp phương sai âm cho thấy rằng chúng không. Nếu hai phần tử không thay đổi cùng nhau, chúng có hiệp phương sai bằng không

Ví dụ về ma trận hiệp phương sai

Giả sử có 2 tập dữ liệu X = [10, 5] và Y = [3, 9]. Phương sai của Set X = 12. 5 và phương sai của tập hợp Y = 18. Hiệp phương sai giữa cả hai biến là -15. Ma trận hiệp phương sai như sau

Công thức ma trận hiệp phương sai

Dạng tổng quát của ma trận hiệp phương sai được cho như sau

ở đâu,

• var(x1) = \frac{\sum_{1}^{n}\left ( x_{i} -\overline{x}\right )^{2} }{n-1}
• cov(x1, y1) =
  
• biến(xn) =
  
• cov(xn, yn) =
  

Làm thế nào để tìm Ma trận hiệp phương sai?

Kích thước của ma trận hiệp phương sai được xác định bởi số lượng biến trong một tập dữ liệu nhất định. Nếu chỉ có hai biến trong một tập hợp, thì ma trận hiệp phương sai sẽ có hai hàng và hai cột. Tương tự, nếu một tập dữ liệu có ba biến, thì ma trận hiệp phương sai của nó sẽ có ba hàng và ba cột.  

Dữ liệu liên quan đến điểm của Anna, Caroline và Laura trong Tâm lý học và Lịch sử. Tạo một ma trận hiệp phương sai

Sinh viênTâm lý(X)Lịch sử(Y)Anna8070Caroline6320Laura10050

Các bước sau đây phải được tuân theo

Bước 1. Tìm giá trị trung bình của biến X. Tính tổng tất cả các quan sát trong biến X và chia tổng thu được cho số hạng. Như vậy, (80 + 63 + 100)/3 = 81

Bước 2. Trừ giá trị trung bình từ tất cả các quan sát. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81)

Bước 3. Lấy bình phương của sự khác biệt thu được ở trên và sau đó cộng chúng lại. Do đó, (80 – 81)2 + (63 – 81)2 + (100 – 81)2

Bước 4. Tìm phương sai của X bằng cách chia giá trị thu được ở Bước 3 cho ít hơn 1 so với tổng số quan sát. var(X) = [(80 – 81)2 + (63 – 81)2 + (100 – 81)2] / (3 – 1) = 343

Bước 5. Tương tự, lặp lại các bước từ 1 đến 4 để tính phương sai của Y. Biến(Y) = 633

Bước 6. Chọn một cặp biến

Bước 7. Trừ giá trị trung bình của biến đầu tiên (X) khỏi tất cả các quan sát;

Bước 8. Lặp lại tương tự cho biến Y;

Bước 9. Nhân các số hạng tương ứng. (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47)

Bước 10. Tìm hiệp phương sai bằng cách cộng các giá trị này và chia chúng cho (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481

Bước 11. Sử dụng công thức chung cho ma trận hiệp phương sai để sắp xếp các số hạng. Ma trận trở thành.  

Tính chất của ma trận hiệp phương sai

• Ma trận hiệp phương sai luôn là hình vuông, ngụ ý rằng số hàng trong ma trận hiệp phương sai luôn bằng số cột trong đó
• Ma trận hiệp phương sai luôn đối xứng, ngụ ý rằng chuyển vị của ma trận hiệp phương sai luôn bằng ma trận ban đầu
• Ma trận hiệp phương sai luôn dương và bán xác định
• Các giá trị riêng của ma trận hiệp phương sai luôn là số thực và không âm

Các ví dụ đã giải trên ma trận hiệp phương sai

ví dụ 1. Dưới đây là điểm của 3 học sinh môn Vật lý và Sinh học

Sinh viênVật lý(X)Sinh học(Y)A9280B6030C10070

Chuẩn bị ma trận hiệp phương sai mẫu từ dữ liệu trên

Dung dịch

Ma trận hiệp phương sai mẫu được cho bởi 

.

Ở đây, x = 84, n = 3

var(x) = [(92 – 84)2 + (60 – 84)2 + (100 – 84)2] / (3 – 1) = 448

Ngoài ra, μy = 60, n = 3

var(y) = [(80 – 60)2 + (30 – 60)2 + (70 – 60)2] / (3 – 1) = 700

Bây giờ, cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)]

Ma trận hiệp phương sai dân số được đưa ra là.  

ví dụ 2. Chuẩn bị ma trận hiệp phương sai dân số từ bảng sau

TuổiSố người2968266030583540

Dung dịch

Phương sai tổng thể được đưa ra bởi 

.

Ở đây, x = 56. 5, n = 4

var(x) = [(68 – 56. 5)2 + (60 – 56. 5)2 + (58 – 56. 5)2 + (40 – 56. 5)2 ] / 4 = 104. 75

Ngoài ra, μy = 30, n = 4

biến(y) = [(29 – 30)2 + (26 – 30)2 + (30 – 30)2 + (35 – 30)2] / 4 = 10. 5

Bây giờ, cov(x, y) =

cov(x, y) = -27

Ma trận hiệp phương sai dân số được đưa ra là.  

ví dụ 3. Giải thích ma trận hiệp phương sai sau

Dung dịch

1. Các phần tử đường chéo 60, 30 và 80 lần lượt biểu thị phương sai trong các tập dữ liệu X, Y và Z. Y hiển thị phương sai thấp nhất trong khi Z hiển thị phương sai cao nhất
2. Hiệp phương sai của X và Y là 32. Vì đây là một số dương nên khi X tăng (hoặc giảm) thì Y cũng tăng (hoặc giảm)
3. Hiệp phương sai của X và Z là -4. Vì là số âm nên khi X tăng thì Z giảm và ngược lại
4. Hiệp phương sai của Y và Z là 0. Điều này có nghĩa là không có mối quan hệ có thể dự đoán được giữa hai tập dữ liệu

Ví dụ 4. Tìm ma trận hiệp phương sai mẫu cho dữ liệu sau

XYZ7510. 5456512. 865227. 374152. 176189. 256

Dung dịch

Ma trận hiệp phương sai mẫu được cho bởi 

.

n = 5, x = 22. 4, biến(X) = 321. 2 / (5 – 1) = 80. 3

yy = 12. 58, biến(Y) = 132. 148/4 = 33. 037

μz = 64, var(Z) = 570/4 = 142. 5

cov(X, Y) =

cov(X, Z) =

cov(Y, Z) =

Ma trận hiệp phương sai được đưa ra dưới dạng

Câu hỏi thường gặp về Ma trận hiệp phương sai

Câu hỏi 1. Ma trận hiệp phương sai là gì?

Câu trả lời

Ma trận hiệp phương sai là một loại ma trận được sử dụng để mô tả các giá trị hiệp phương sai giữa hai mục trong một vectơ ngẫu nhiên

Câu hỏi 2. Dạng tổng quát của ma trận hiệp phương sai 2 x 2 là gì?

Câu trả lời

Dạng tổng quát của ma trận hiệp phương sai được cho như sau

câu hỏi 3. Ma trận hiệp phương sai phương sai có đối xứng không?

Câu trả lời

Có, ma trận phương sai hiệp phương sai là đối xứng. Điều đó có nghĩa là sự chuyển vị của ma trận hiệp phương sai sẽ dẫn đến ma trận ban đầu. Nói cách khác, MT = M, trong đó M là ma trận hiệp phương sai

câu hỏi 4. Các ứng dụng của ma trận hiệp phương sai là gì?

Câu trả lời

Ma trận hiệp phương sai thường được sử dụng trong kinh tế, kỹ thuật tài chính và học máy. Phân tách Cholesky thực hiện mô phỏng Monte Carlo bằng ma trận hiệp phương sai. Mô phỏng này được sử dụng để phát triển nhiều mô hình toán học