Phương trình vi phân và chuỗi tiếng anh là gì năm 2024

4.3 Tìm nghiệm riêng của pt không thuần nhất (4.1): Phương pháp biến thiên hằng số (method of variation of parameters):

Cho phương trình

và phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát:

Khi đó ta tìm 1 nghiệm riêng có dạng:

Nói cách khác, ta cần tìm u(x), v(x) để y* là 1 nghiệm riêng của (4.1)

Ta có: (4.3.1)

Nhận xét: nếu tiếp tục lấy đạo hàm rồi thế vào pt thì ta sẽ có 1 biểu thức trong đó có 6 đại lượng chưa biết là nên không thể giải được.

Do vậy, ta cần tìm u(x), v(x) sao cho biểu thức (4.3.1) có thể triệt tiêu bớt những thành phần chưa biết.

Vì vậy, ta sẽ chọn u(x), v(x) sao cho:

(4.3.2)

Khi đó, từ biểu thức (4.3.1) ta có:

(4.3.3)

Lấy đạo hàm biểu thức (4.3.3) ta có:

(4.3.4)

Thế (4.3.4) và (4.3.3) vào pt(4.1) và chú ý là 2 nghiệm của phương trình thuần nhất, ta có:

(4.3.5)

Từ (4.3.2) và (4.3.5) ta có u(x), v(x) là nghiệm của hpt:

(I)

Do là 2 nghiệm độc lập tuyến tính nên theo (3.5) và lý thuyết hệ phương trình ta sẽ có hệ pt (I) có duy nhất nghiệm u'(x) , v'(x).

Vậy ta tìm được u(x), v(x). Do đó tìm được nghiệm riêng y*.

Vậy bài toán đã được giải quyết.

4.4 Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Biết rằng các hàm tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình . Hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình: (4.4.1)

Giải

Ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:

Ta tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất (4.4.1) bằng phương pháp biến thiên hằng số.

Muốn vậy, trước tiên ta phải chuyển phương trình về dạng , nghĩa là phải chia 2 vế cho x.

Mẹo: từ phương trình trên ta dễ dàng nhận thấy y = 1 thỏa mãn phương trình (4.4.1). Vậy ta có thể tìm nghiệm riêng y* bằng cách kiểm tra y = 1 là nghiệm. Cách này sẽ giúp ta tính toán nhanh hơn so với cách chính quy.