Tam thức bậc hai [ so với x ] là biểu thức dạng ax2 + bx + c trong đó a, b, c là những số cho trước với a khác 0 với ∆=b2-4ac [biệt thức của tam thức bậc hai f[x] = ax2+bx+c và ∆ ‘ = b ‘ 2 – ac [ biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f [ x ] = ax2 + bx + c . Đáp án : 3 tam thức bậc hai
Nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai .
f [ x ] = ax2 + bx + c
Ví dụ : Hãy cho biết
có bao nhiêu tam thức bậc haiĐịnh lý tam thức bậc hai
Định lý tam thức bậc hai [ Nguồn : Internet ]
Cho f [ x ] = ax2
+ bx + c [ a khác 0 ]
kí hiệu x1, x2 là nghiệm của f [ x ] = 0 ta có
S = x1 + x2 = – ba
P = x1. x2 = ca
Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai
Ta có mẹo ghi nhớ “ Trong trái, ngoài cùng ” [ nghĩa là trong khoảng chừng hai nghiệm thì trái dấu với a, còn bên ngoài hai nghiệm thì cùng dấu với a ]
∆ < 0 → a.fx > 0 với ∀ x ∈ R ∆ = 0 → a.fx > 0 với ∀ x ≠ – ba hoặc a.fx ≥ 0 với ∀ x ∈ R ∆ > 0 thì fx có 2 nghiệm :
- Với mọi x nằm trong khoảng hai nghiệm thì f [x] trái dấu với a
- Với mọi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm thì f [x] cùng dấu với a
BẢNG XÉT DẤU TAM THỨC BẬC HAI | |
Dấu của biệt thức ∆ | Dấu của f[x] |
| ∆ < 0 | afx > 0, ∀ x ∈ R |
| ∆ = 0 | afx ≥ 0, ∀ x ∈ R |
| ∆ > 0 Phương trình fx=0 có 2 nghiệm x1 | afx > 0, ∀ x ∈ – ∞ ; x1 ∪ x2 ; + ∞ afx < 0, ∀ x ∈ x1 ; x2 |
- Cách xét dấu của tam thức bậc hai:
Bước 1: Tính∆, bấm máy tính và tìm hai nghiệm của tam thức bậc hai
Bước 2: Dựa vào hệ số a và lập bảng xét dấu [trong trái ngoài cùng]
Bước 3: Tiến hành xét dấu của bảng và đưa ra kết luận
| fx = ax2 + bx + c, a ≠ 0 | |
| ∆ < 0 | afx > 0, ∀ x ∈ R |
| ∆ = 0 | afx > 0, ∀ x ∈ R ∖ – b2a |
| ∆ > 0 | afx > 0, ∀ x ∈ – ∞ ; x1 ∪ x2 ; + ∞ |
| afx < 0, ∀ x ∈ x1 ; x2 |
Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Cho f [x] = ax2+bx+c [a khác 0]. Nếu có số α thỏa mãn a. f [α] < 0 thì f [x] có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x10 và x1 0 và ∆>0⇒α∉x1;x2
αα
x1
Một số bài toán áp dụng
Bài toán 1: Cho tam thức bậc hai sau và tiến hành xét dấu:
f [ x ] = 3×2 + 2 x – 5
ta có ∆ = b2-4ac = 22-4. 3. – 5 = 27 > 0
→ phương trình f [ x ] = 0 có hai nghiệm
x1 = – 53×2 = 1
Lập bảng xét dấu : “ Trong trái ngoài cùng ”
| x | -∞ | -53 | 1 | +∞ | |
| f[x] | + | 0 | – | 0 | + |
Như vậy:
f [ x ] < 0 → x ∈ - 53 ; 1 f [ x ] > 0 → x ∈ – ∞ ; – 53 ∪ 1 ; + ∞
Bài toán 2: Xét dấu các tam thức bậc hai:
a ] 5×2 – 3 x + 1
b ] – 2×2 + 3 x + 5
c ] x2 + 12 x + 36
d ] [ 2 x – 3 ] [ x + 5 ]
Hướng dẫn
a ] Tam thức f [ x ] = 5×2 – 3 x + 1 có Δ = 9 – 20 = – 11 < 0 nên f [ x ] cùng dấu với thông số a . Mà a = 5 > 0
Do đó f [ x ] > 0 với ∀ x ∈ R .
b ] Tam thức f [ x ] = – 2×2 + 3
x + 5 có Δ = 9 + 40 = 49 > 0 .
Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = – 1 ; x2 = 52, thông số a = – 2 < 0 Ta có bảng xét dấu sau
| x | – ∞ | -1 | 52 | +∞ | |
| f[x] | – | 0 | + | 0 | – |
Như vậy f [ x ] > 0 khi x ∈ [ – 1 ; 52 ]
f [ x ] = 0 khi x = – 1 ; x = 52
f [ x ] < 0 khi x ∈ [ – ∞ ; – 1 ] ∪ [ 52 ; + ∞ ] c ] Tam thức f [ x ] = x2 + 12 x + 36 có một nghiệm là x = – 6, thông số a = 1 > 0 .
Ta có bảng xét dấu sau
Như vậy f [ x ] > 0 với ∀ x ≠ – 6
f [ x ] = 0 khi x = – 6
d ] f [ x ] = [ 2 x – 3 ] [ x + 5 ] = 2×2 + 7 x – 15
Tam thức f [ x ] = 2×2 + 7 x – 15 có hai nghiệm phân biệt x1 = 32 ; x2 = – 5, thông số
a = 2 > 0 .
Ta có bảng xét dấu sau
| x | – ∞ | -5 | 32 | +∞ | |
| f [ x ] | + | 0 | – | 0 | + |
Như vậy f [ x ] > 0 khi x ∈ [ – ∞ ; – 5 ] ∪ [ 32 ; + ∞ ]
f [ x ] = 0 khi x = – 5 ; x = 32
f [ x ] < 0 khi x ∈ [ – 5 ; 32 ]
Một số bài tập tự áp dụng để rèn luyện
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm: f [x] = mx2+ [m – 1]x + 3 – 4m = 0 và thoả mãn x1