Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho \[a, b, c\] là độ dài ba cạnh của một tam giác.
a] Chứng minh \[[b-c]^2 c \Rightarrow b + a - c > 0\]
Suy ra \[\left[ {b - c - a} \right]\left[ {b + a - c} \right] < 0\] hay \[{\left[ {b - c} \right]^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow {\left[ {b - c} \right]^2} < {a^2}\][điều phải chứng minh].
LG b
Từ đó suy ra \[a^2+ b^2+ c^2< 2[ab + bc +ca]\].
Lời giải chi tiết:
Từ kết quả câu a], ta có:
\[\begin{array}{l}
{a^2} > {\left[ {b - c} \right]^2}\\
{b^2} > {\left[ {a - c} \right]^2}\\
{c^2} > {\left[ {a - b} \right]^2}
\end{array}\]
\[{a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{\left[ {b - c} \right]^2} + {\rm{ }}{\left[ {a{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right]^2} \]\[+ {\rm{ }}{\left[ {a{\rm{ }} - {\rm{ }}b} \right]^2}\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} \]\[+ {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2ac{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}2ab\]
\[ \Leftrightarrow 2ab + 2bc + 2ca > {a^2} + {b^2} + {c^2}\]
\[\Leftrightarrow 2\left[ {ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac} \right]{\rm{ }} > {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}\]
hay: \[a^2+ b^2+ c^2< 2[ab + bc +ca]\] [điều phải chứng minh].