- LG a
- LG b
Giải các phương trình sau:
LG a
\[2{\sin ^3}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x\]
Lời giải chi tiết:
Những giá trị của \[x\] mà \[\cos x = 0\] thì \[\sin x = \pm 1\] nên không có nghiệm của phương trình đã cho .
Với \[\cos x \ne 0\] , chia hai vế của nó cho \[{\cos ^3}x\] , ta được
\[\begin{array}{l}
2.\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
2{\tan ^3}x + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x\left[ {1 + {{\tan }^2}x} \right]\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3\tan x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\tan x - 1} \right]\left[ {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x - 1 = 0\\
{\tan ^2}x + \tan x + 4 = 0\left[ {VN} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\]
LG b
\[3{\sin ^2}{x \over 2}\cos \left[ {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right] + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \]
\[= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left[ {{x \over 2} + {\pi \over 2}} \right]\cos {x \over 2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\cos \left[ {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right] = \sin {x \over 2}\]
\[\sin \left[ {{\pi \over 2} + {x \over 2}} \right] = \cos {x \over 2}\]
Phương trình đã cho trở thành:
\[3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2}\]\[ - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0[*]\]
Với điều kiện \[\cos {x \over 2} \ne 0\] , chia hai vế của [*] cho \[{\cos ^3}{x \over 2}\] thì được phương trình
\[3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ {3{{\tan }^3}\frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2}} \right] + \left[ {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \tan \frac{x}{2}\left[ {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right] + \left[ {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right] = 0
\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \] \[\left[ {\tan {x \over 2} + 1} \right]\left[ {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right] = 0\]
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} + 1 = 0\\
3{\tan ^2}\frac{x}{2} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = - 1\\
\tan \frac{x}{2} = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = - {\pi \over 2} + 2k\pi \] và \[x = \pm {\pi \over 3} + 2k\pi \].