- LG a
- LG b
LG a
Kí hiệu [P] là parabol \[y = a{x^2} + bx + c\,\left[ {a \ne 0} \right].\] Chứng minh rằng nếu một đường thẳng song song với trục hoành, cắt \[[P]\] tại hai điểm phân biệt \[A\] và \[B\] thì trung điểm \[C\] của đoạn thẳng AB thuộc trục đối xứng của parabol \[[P]\].
Lời giải chi tiết:
Ta đã biết trục đối xứng của parabol \[y = a{x^2} + bx + c\] là đường thẳng \[x = - {b \over {2a}}\]
Giả sử \[[d]\] là đường thẳng đã cho [song song với trục hoành].
Ta biết rằng [d] là đồ thị của hàm số không đổi \[y = m\] với m là một số nào đó.
Giả thiết cho \[[d]\] cắt \[[P]\] tại hai điểm phân biệt \[A\] và \[B\] có nghĩa là phương trình \[a{x^2} + bx + c = m\] hay
\[a{x^2} + bx + c - m = 0\] [1]
Có hai điểm phân biệt ; hơn nữa, hai điểm ấy chính là các hoành độ \[x_A\]của điểm \[A\] và \[x_B\]của điểm \[B\]. Theo định lí Vi-ét, ta có \[{x_A} + {x_B} = - {b \over a}.\]
Do đó trung điểm \[C\] của đoạn thẳng AB có hoành độ là \[{x_C} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} = - {b \over {2a}}.\]
Điều đó chứng tỏ điểm \[C\] thuộc đường thẳng \[x = - {b \over {2a}},\] tức là thuộc trục đối xứng của parabol \[[P]\]
Chú ý. Đường thẳng \[[d]\] song song với trục hoành nên vuông góc với trục đối xứng của \[[P]\].
Do đó, khi \[[d]\] cắt \[[P]\] tại hai điểm \[A\] và \[B\] thì hai điểm ấy đối xứng với nhau qua trục đối xứng với nhau qua trục đối xứng và trung điểm \[C\] của đoạn \[AB\] phải thuộc trục đối xứng.
LG b
Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị \[[P]\] của một hàm số bậc hai tại hai điểm \[M[-3 ; 3]\] và \[N[1 ; 3]\]. Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol \[[P]\].
Lời giải chi tiết:
Áp dụng kết quả trên, trung điểm \[K\] của đoạn \[MN\] phải thuộc trục đối xứng của parabol \[[P]\].
Điểm \[K\] có hoành độ là \[{{ - 3 + 1} \over 2} = - 1.\]
Vậy trục đối xứng của parabol \[[P]\] có phương trình là \[x = -1\].