Trên hình 90, cạnh \[DC\] của hình chữ nhật \[ABCD\] được chia thành \[n\] đoạn bằng nhau bởi các điểm chia \[C_1, C_2,,C_{n-1}\], cạnh \[AD\] cũng được chia thành \[n\] đoạn bằng nhau bởi các điểm chia \[D_1, D_2, , D{n-1}\]. Gọi \[I_k\]là giao điểm của đoạn \[AC_k\]với đường thẳng qua \[D_k\]và song song với \[AB\]. Chứng minh rằng các điểm \[I_k [k=1, 2,,n-1]\] nằm trên parabol có đỉnh \[A\] và trục đối xứng là \[AB.\]
Đề bài
Trên hình 90, cạnh \[DC\] của hình chữ nhật \[ABCD\] được chia thành \[n\] đoạn bằng nhau bởi các điểm chia \[C_1, C_2,,C_{n-1}\], cạnh \[AD\] cũng được chia thành \[n\] đoạn bằng nhau bởi các điểm chia \[D_1, D_2, , D{n-1}\]. Gọi \[I_k\]là giao điểm của đoạn \[AC_k\]với đường thẳng qua \[D_k\]và song song với \[AB\]. Chứng minh rằng các điểm \[I_k [k=1, 2,,n-1]\] nằm trên parabol có đỉnh \[A\] và trục đối xứng là \[AB.\]
Lời giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxy\] sao cho \[O\] trùng với \[A, AB\] nằm trên tia \[Ox, AD\] nằm trên tia \[Oy\]. Đặt \[AB=a, AD=b.\] Hãy tìm tọa độ của \[I_k\]và chứng minh \[I_k\]nằm trên parabol có phương trình dạng: \[{y^2} = 2px [p > 0]\].