Cách tìm trực tâm tam giác trong Oxyz nhanh
Ở bộ môn toán trung học cơ sở, chắc hẳn các bạn đã học qua khái niệm trực tâm của tam giác. Vậy tọa độ trực tâm là gì trong hình học không gian và có ứng dụng thế nào trong bản vẽ thiết kế. Hãy cùng BVU tìm hiểu khái niệm và một số bài tập ví dụ về trực tâm tam giác qua bài viết dưới đây nhé. Show Trực tâm của tam giác theo chương trình toán THCS được hiểu như sau: “Trong một tam giác có ba đường cao. Ba đường này cùng giao nhau tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác”. Giả sử cho tam giác ABC có 3 đường cao tương ứng: AI, BK, CE. Gọi H là giao điểm của 3 đường cao trên thì H chính là trực tâm của tam giác ABC.Tuy nhiên, để xác định trực tâm trong tam giác, bạn không cần thiết phải vẽ đủ 3 đường cao. Thay vào đó, bạn xác định trực tâm bằng cách kẻ hai đường cao trong tam giác là được Tìm tọa độ trực tâm thế nào?Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác đó. Tuy nhiên để tìm tọa độ trực tâm trong tam giác, bạn không nhất thiết phải vẽ ba đường cao, giao điểm của hai đường cao cũng được xác định là trực tâm tam giác. Giao điểm của hai đường cao cũng được xác định là trực tâm tam giácTừ hai đỉnh khác nhau của tam giác, vẽ hai đường cao tương ứng tới hai cạnh đối diện. Trực tâm của tam giác chính là điểm giao nhau của hai đường cao đó. Đồng thời, đường cao thứ 3 chắc chắn sẽ đi qua điểm trực tâm của tam giác. Tuy nhiên đối với tam giác vuông thì việc xác định trực tâm không giống như tam giác thường. Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đồng thời là hai đường cao của tam giác. Chính vì vậy trực tâm của tam giác vuông trùng chính là giao điểm của 2 cạnh vuông.
Những tính chất của trực tâm của tam giácĐể giải được các dạng bài tập về tọa độ trực tâm là gì, bạn cần phải nắm rõ khái niệm cũng như các tính chất của trực tâm tam giác. Hãy đọc kỹ những tính chất dưới đây để có thể linh hoạt vận dụng trong toán hình không gian.
Một số bài tập áp dụngTrực tâm của tam giác xuất hiện nhiều trong hình học không gian dưới dạng câu hỏi “tọa độ trực tâm là gì?”. Dưới đây là một số dạng bài tập để bạn học tham khảo. Một số dạng bài tập tìm trực tâm tam giác
Hy vọng với những kiến thức được tập hợp ở trên, bạn đã hiểu được khái niệm tọa độ trực tâm là gì, các tính chất cũng như các dạng bài tập liên quan. Trong đời sống ngày nay, hình học không gian được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau. Bao gồm: Đồ họa máy tính, đo đạc địa chính, khảo sát địa hình… Nếu bạn thực sự quan tâm và muốn tìm hiểu những vấn đề này, hãy liên lạc ngay với BVU để được tư vấn tận tình. Nếu bài viết hữu ích, bạn hay chia sẻ nhé. Bài viết được tài trở bởi: Công ty TNHH Hợp Nhất Bách Việt Chuyên đo đạc địa chính, dịch vụ trắc địa.
Xem thêm: Hệ tọa độ và hệ quy chiếu bản đồ ở Việt Nam Các hệ tọa độ trong trắc địa? Những điều cần biết về hệ tọa độ WGS84 là gì Hệ tọa độ Descartes là gì?
Trong mp Oxyz cho tam giác abc có A[2;3;1] B[2;1;-2] C[3;3;-1] Tìm H là trực tâm tam giác ABC? ***chú ý chỉ dùng hê tọa đô, kô dùng pt mặt phẳng Giải Cách tổng quát cho 1 tam giác bất kì [laTEX]H [ x,y,z] \\ \\ \begin{cases} \vec{AH}. \vec{BC} = 0 \\ \vec{BH}.\vec{AC} = 0 \\ [\vec{AB},\vec{AC}]. \vec{AH} = 0 \end{cases}[/laTEX] Lời giải của GV Vungoi.vn \(H\) là trực tâm của $\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$ Ta giả sử $H\left( {x,y,z} \right)$, ta có \(\overrightarrow {BC} = (0, - 3, - 4)\) \(\overrightarrow {AC} = ( - 2,0, - 4)\) \(\overrightarrow {AH} = (x - 2,y,z)\) \(\overrightarrow {BH} = (x,y - 3,z)\) \(\overrightarrow {AB} = ( - 2,3,0)\). Điều kiện \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\) Điều kiện \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\) Ta tính \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)\). Điều kiện \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0 \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\) Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}&{}\\{x + 2z = 0}&{}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{72}}{{61}}}&{}\\{y = \dfrac{{48}}{{61}}}&{}\\{z = \dfrac{{ - 36}}{{61}}}&{}\end{array}} \right.\) Suy ra \(H(\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})\) Suy ra \(\overrightarrow {OH} = (\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})\) là vecto chỉ phương của $OH$. Chọn \(\vec u = (6,4, - 3)\) là vecto chỉ phương của $OH$ và $OH$ qua $O\left( {0,0,0} \right)$ nên phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6t}&{}\\{y = 4t}&{}\\{z = - 3t}&{}\end{array}} \right.\)
CÔNG THỨC TÍNH NHANH 1: CÁCH XÁC ĐỊNH NHANH TOẠ ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN OXYZ Bài viết này Vted trình bày cho các em một công thức xác định nhanh toạ độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trong bài toán Hình giải tích không gian Oxyz. Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây: \[BC.\overrightarrow {IA} + CA.\overrightarrow {IB} + AB.\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \] Chuyển qua toạ độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh toạ độ điểm I như sau: Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với toạ độ các đỉnh $A(1;1;1),B(4;1;1),C(1;1;5).$ Tìm toạ độ điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ A. $I(-2;-1;-2).$ B. $I(2;-1;2).$ C. $I(2;1;2).$ D. $I(1;2;2).$ . Lời giải. Ta có $BC=5, CA=4, AB=3$.Do đó Vậy $\boxed{I(2;1;2){\text{ (C)}}}.$ Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A(2;2;1),B\left( -\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right).$ Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $AOB$ và vuông góc với mặt phẳng $(AOB)$ có phương trình là A. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{2}.$ C. $\frac{x+\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{5}{3}}{-2}=\frac{z-\frac{11}{6}}{2}.$ B. $\frac{x+1}{1}=\frac{y-8}{-2}=\frac{z-4}{2}.$ D. $\frac{x+\frac{2}{9}}{1}=\frac{y-\frac{2}{9}}{-2}=\frac{z+\frac{5}{9}}{2}.$ .
XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH NGOẠI TIẾP TAM GIÁC Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau: Ta biết được rằng \[R=\frac{abc}{4S},\] trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $S$ là diện tích tam giác. Áp dụng trong hình toạ độ không gian $Oxyz,$ ta được \[R=\frac{AB.BC.CA}{2\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|}.\] trong đó tất cả các phép toán có trong công thức trên hoàn toàn bấm trực tiếp bằng máy tính. Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A(2;0;-1),B(1;-2;3),C(0;1;2).$ Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ A. $\frac{7\sqrt{11}}{10}.$ B. $\frac{7\sqrt{11}}{5}.$ C. $\frac{11\sqrt{7}}{10}.$ D. $\frac{11\sqrt{7}}{5}.$ Giải. Ta có $AB=\sqrt{21},BC=\sqrt{11},CA=\sqrt{14},{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|=5\sqrt{\frac{3}{2}}.$ Vì vậy \[R=\frac{AB.BC.CA}{4{{S}_{ABC}}}=\frac{\sqrt{21}.\sqrt{11}.\sqrt{14}}{4.5\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{7\sqrt{11}}{10}.\] Chọn đáp án A. *Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả $R\approx 2,3216375$ lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được ${{R}^{2}}=\frac{539}{100}\Rightarrow R=\frac{7\sqrt{11}}{10}.$ CÔNG THỨC TÍNH NHANH 3 XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN CÁC TRỤC TOẠ ĐỘ, MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ • Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên các trục toạ độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là $A({{x}_{0}};0;0),B(0;{{y}_{0}};0),C(0;0;{{z}_{0}}).$ • Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên các mặt phẳng toạ độ $(Oxy),(Oyz),(Ozx)$ lần lượt là $A({{x}_{0}};{{y}_{0}};0),B(0;{{y}_{0}};{{z}_{0}}),C({{x}_{0}};0;{{z}_{0}}).$ Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M(3;2;6)$ trên các trục toạ độ $Ox,Oy,Oz.$ Giải. Ta có $A(3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;6)\Rightarrow (ABC):\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{6}=1.$ Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của $M(1;2;3)$ trên các mặt phẳng toạ độ $(Oxy),(Oyz),(Ozx).$ CÔNG THỨC TÍNH NHANH 4 XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG • Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0.$ Điểm $N(x;y;z)$ đối xứng với $M$ qua mặt phẳng $(P)$ có toạ độ là nghiệm của hệ *Chú ý. Trong hệ phương trình trên hoặc a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 thì tương ứng x =x0 hoặc y =y0 hoặc z =z0. • Toạ độ điểm $N(x;y;z)$ là hình chiếu vuông góc của điểm Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):2x-3y+5z-4=0$ và kí hiệu $(Q)$ là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng $(P)$ qua mặt phẳng $(Oxz).$ Hỏi phương trình của mặt phẳng $(Q)$ là ? A. $(Q):2x+3y+5z-4=0.$ C. $(Q):2x+3y+5z+4=0.$ B. $(Q):2x-3y+5z+4=0.$ D. $(Q):2x-3y+5z-4=0.$ Giải. Xét điểm $M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\in (P),N(x;y;z)$ là điểm đối xứng của $M$ qua $(Oxz),$ ta có Thay vào phương trình của $(P),$ ta được: $2x-3(-y)+5z-4=0\Rightarrow (Q):2x+3y+5z-4=0.$ Chọn đáp án A. Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+2y+3z+4=0.$ Biết $M,N$ là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng $(P)$ và $M$ thuộc mặt cầu $(T):{{x}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{z}^{2}}=5.$ Hỏi điểm $N$ thuộc mặt cầu nào dưới đây ? A. $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$ B. $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y-\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$ C. $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x+\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$ D. $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{8}{7}x-\frac{40}{7}y+\frac{24}{7}z+\frac{45}{7}=0.$ CÔNG THỨC TÍNH NHANH 5 MẶT PHẲNG PHÂN GIÁC CỦA HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU Xét hai mặt phẳng $(\alpha ):{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0,(\beta ):{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0.$ Khi đó phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi $(\alpha ),(\beta )$ là \[\frac{{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}=\pm \frac{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}.\] CÔNG THỨC TÍNH NHANH 6 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG VÀ NGOÀI CỦA TAM GIÁC Xét tam giác $ABC,$ khi đó đường phân giác trong góc $A$ có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.\] Ngược lại, đường phân giác ngoài góc $A$ có véctơ chỉ phương là \[\overrightarrow{u}=\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{AC}\overrightarrow{AC}.\] Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho tam giác $ABC$ với $A(1;-2;1),B(-2;2;1),C(1;-2;2).$ Hỏi đường phân giác trong của góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $(Oyz)$ tại điểm nào sau đây ? A. $\left( 0;-\frac{4}{3};\frac{8}{3} \right).$ B. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{4}{3} \right).$ C. $\left( 0;-\frac{2}{3};\frac{8}{3} \right).$ D. $\left( 0;\frac{2}{3};-\frac{8}{3} \right).$ Giải. Ta có véctơ chỉ phương của phân giác trong góc $A$ là x Chọn đáp án C.
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU Hai đường thẳng ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau tại điểm $A({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})$ và có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}({{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}}),\overrightarrow{{{u}_{2}}}({{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}}).$ Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có véctơ chỉ phương được xác định theo công thức $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}\pm \frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}\left( {{a}_{1}};{{b}_{1}};{{c}_{1}} \right)\pm \frac{1}{\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}\left( {{a}_{2}};{{b}_{2}};{{c}_{2}} \right).$ Chi tiết có hai phân giác: Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng. Nếu $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}>0\Rightarrow \overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| {{u}_{1}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| {{u}_{2}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ là véctơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng. Có véctơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(1;-2;2),\overrightarrow{{{u}_{2}}}(3;-4;0)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=3+8=9>0.$ Nên véctơ chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng là $\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{1}}}+\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{3}\left( 1;-2;2 \right)+\frac{1}{5}\left( 3;-4;0 \right)=\left( \frac{14}{15};-\frac{22}{15};\frac{2}{3} \right)//(7;-11;5).$ Vậy đường thẳng cần tìm là $\frac{x-1}{7}=\frac{y-1}{-11}=\frac{z+1}{5}.$ Chọn đáp án A. Câu 2. Trong không gian $Oxyz,$ cho đường thẳng d: Lời giải chi tiết. Có $A(1;1;1)=d\cap \Delta .$ Đường thẳng $d$ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}(3;4;0).$ Đường thẳng $\Delta $ có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}(-2;1;2).$ Có $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=-6+4=-2<0\rightarrow>{{90}^{0}}.$ Do đó phân giác của góc nhọn $d$ và $\Delta $ sẽ đi qua $A$ và có véctơ chỉ phương \[\overrightarrow{u}=\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{1}}}-\frac{1}{\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\frac{1}{5}\left( 3;4;0 \right)-\frac{1}{3}\left( -2;1;2 \right)=\left( \frac{19}{15};\frac{7}{15};-\frac{2}{3} \right)//(19;7;-10).\] Đối chiếu các đáp án chọn D. Bài viết gợi ý: |