Gọi B là tập hợp các cặp thảo mãn điều kiện đầu bài và \[A\left[ k \right] = \left[ {\left[ {k;k} \right];\left[ {k,k - 1} \right];...;\left[ {k,1} \right]} \right]\] \[k = 1,2,...,n.\]
Đề bài
Cho tập hợp\[A = \left\{ {1,2,3,....n} \right\}\]trong đó\[n\]là số nguyên dương lớn hơn 1. Hỏi có bao nhiêu cặp sắp thứ tự\[\left[ {x,y} \right]\]thỏa mãn\[x,y \in A\]và\[x \ge y\]?
Lời giải chi tiết
Gọi B là tập hợp các cặp thảo mãn điều kiện đầu bài và \[A\left[ k \right] = \left[ {\left[ {k;k} \right];\left[ {k,k - 1} \right];...;\left[ {k,1} \right]} \right]\] \[k = 1,2,...,n.\]
Ta có \[B = \bigcup\limits_{k = 1}^n {A\left[ k \right],} \] và \[\left| {A\left[ k \right] } \right|=k.\]
Hoặc ta có thể lí luận như sau: Một tập con có 2 phần tử A, ứng với duy nhất một cặp \[\left[ {x,y} \right],\] với \[x,y\] thuộc A và \[x \ge y.\] Vậy số cặp cần tìm là:
\[C_n^2 + n = {{n\left[ {n + 1} \right]} \over 2}\]