Đề bài
Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \[\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \dfrac{1}{4}B{C^2}\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xen điểm thích hợp, tính tích vô hướng, chú ý các cặp véc tơ vuông góc có tích vô hướng bằng \[0\].
Lời giải chi tiết
Ta có \[\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right]\], \[\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{2}[\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} ]\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {HM} = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right].\left[ {\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} } \right]\]
\[ = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_{ = 0} + \underbrace {\overrightarrow {AC} \overrightarrow {.HB} }_{ = 0} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} } \right]\]
\[ = \dfrac{1}{4}[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HC} ]\]
\[ = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} .[\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {CB} ] + \overrightarrow {AC} .[\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {BC} ]} \right]\]
\[ = \dfrac{1}{4}\left[ {\underbrace {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \underbrace {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {HB} }_0 + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]\]
\[ = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC} } \right]\]\[ = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB} } \right]\]
\[ = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\left[ {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right]\]\[ = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CB} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {CB} ^2} = \dfrac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2}\]