Đề bài
Trên đường tròn \[[O; R]\] vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau \[AB, BC, CD,\] mỗi dây có độ dài nhỏ hơn \[R.\] Các đường thẳng \[AB\] và \[CD\] cắt nhau tại \[I,\] các tiếp tuyến của đường tròn tại \[B, D\] cắt nhau tại \[K.\]
\[a]\] Chứng minh \[\widehat {BIC} = \widehat {BKD}\]
\[b]\] Chứng minh \[BC\] là tia phân giác của \[\widehat {KBD}.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+] Nếu \[C\] là một điểm trên cung \[AB\] thì: \[sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CB}.\]
+] Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Lời giải chi tiết
\[a]\] \[\overparen{AB} = \overparen{BC} = \overparen{CD}\] \[[gt]\] \[ [1]\]
Trong đường tròn \[[O]\] ta có \[\widehat {BKD}\] là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.
\[ \Rightarrow \widehat {BKD} = \displaystyle {1 \over 2} [sđ \overparen{BAD} \]\[- sđ \overparen{BCD}\]]
\[=\displaystyle{1 \over 2} [sđ \overparen{AB} + sđ \overparen{AmD} - sđ \overparen{BC}\]\[ - sđ \overparen{CD}\]] \[ [2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] \[ \Rightarrow \widehat {BKD} = \displaystyle{1 \over 2} [sđ \overparen{AmD} \]\[- sđ \overparen{BC}\]]\[ [3]\]
Trong đường tròn \[[O]\] ta có \[\widehat {BIC}\] là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.
\[ \Rightarrow \widehat {BIC} =\displaystyle {1 \over 2}\] [sđ \[\overparen{AmD}\] - sđ \[\overparen{BC}\]] \[ [4]\]
Từ \[[3]\] và \[[4]\] suy ra: \[\widehat {BIC} = \widehat {BKD}\]
\[b]\] Xét đường tròn \[[O]\] ta có:
+] \[\widehat {KBC} = \displaystyle{1 \over 2}\]sđ \[\overparen{BC}\][tính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung]\[ [5]\]
+] \[\widehat {CBD} = \displaystyle{1 \over 2} sđ \overparen{CD}\] [tính chất góc nội tiếp] \[ [6]\]
Từ \[[1],\] \[[5]\] và \[[6]\] suy ra: \[\widehat {KBC} = \widehat {CBD}\]. Vậy \[BC \] là tia phân giác của \[\widehat {KBD}.\]