Đề bài
Hai điểm \[M\] và \[N\] cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \[xy.\] Lấy điểm \[L\] đối xứng với \[M\] qua \[xy.\] Gọi \[I\] là một điểm của \[xy.\] Hãy so sánh \[IM + IN\] với \[LN.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng và bất đẳng thức tam giác.
Lời giải chi tiết
Gọi \[P\] là giao điểm của \[LN\] với \[xy.\]
Vì L và M đối xứng với nhau qua đường thẳng xy nên xy là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với ML.
Do đó, \[xy\] là đường trung trực của \[ML\]
Mà \[I \in xy\Rightarrow IM = IL\] [tính chất đường trung trực của đoạn thẳng]
-Nếu \[I\] không trùng \[P\] tức là ba điểm \[L,I,N\] không thẳng hàng
Xét \[ΔINL\] có \[IL + IN > LN\] [bất đẳng thức tam giác]
\[\Rightarrow IM + IN > LN\].
-Nếu \[I P\] tức là ba điểm \[L,I,N\] thẳng hàng, suy ra: \[IL + IN = LN\].
Khi đó: \[IM + IN = IL + IN = LN\] [vì \[IM=IL]\]
Vậy với mọi vị trí của \[I\] trên \[xy\] thì \[IM + IN LN.\]