Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ Lý thuyết
Tài liệu Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0o đến 180o hay, chi tiết Toán lớp 10 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0o đến 180o từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 10. Show
1. Định nghĩa Với mỗi góc α (0o ≤ α ≤ 180o) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ∠ xOM = α và giả sử điểm M có tọa độ M(xo, yo). Khi đó ta có định nghĩa: sin của góc α là yo, kí hiệu sinα = yo; cosin của góc α là xo, kí hiệu cosα = xo tang của góc α là kí hiệu tanα = cotang của góc α là 2. Tính chất Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu ∠ xOM = α thì ∠xON = 180o – α. Ta có yM = yN = yo, xM = –xN = xo. Do đó sin α = sin(180o – α) cos α = –cos(180o – α) tan α = –tan(180o – α) cot α = –cot(180o – α)
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Trong bảng kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn: sin 120o = sin(180o – 60o) = sin60o = cos 135o = cos(180o – 45o) = –cos45o = - 4. Góc giữa hai vectơ a) Định nghĩa Cho hai vectơ Nếu ( ) = 90o thì ta nói rằng vuông góc với nhau, kí hiệu là b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độGiá trị lượng giác của một góc bất kỳ, định nghĩa, tính chất, bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt, góc giữa hai vectơ.1. Định nghĩa góc lượng giác và các giá trị lượng giác2. Tính chất của các góc lượng giácSự liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc bù nhau 3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt4. Góc giữa hai vectơ
BÀI 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800 I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM1. Tính chấtsin α = sin(180o – α) cos α = –cos(180o – α) tan α = –tan(180o – α) cot α = –cot(180o – α) 2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt3. Góc giữa hai vectơa) Định nghĩa Cho hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] đều khác vectơ 0 .Từ một điểm O bất kì ta vẽ \[ \overrightarrow{OA}=\vec{a}\,\,va\,\,\overrightarrow{OB}=\vec{b} \] Góc \[ \widehat{AOB} \] với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] là \[ (\vec{a},\vec{b}) \] . Nếu \[ (\vec{a},\vec{b}) \] = 90o thì ta nói rằng \[ \overrightarrow{a} \] và \[ \overrightarrow{b} \] vuông góc với nhau, kí hiệu là \[ \vec{a}\bot \vec{b} \] hoặc \[ \vec{b}\bot \vec{a} \] b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có \[ (\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a}) \] . II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPDạng 1. Tính độ dài vecto, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độĐộ dài vecto - Định nghĩa: Mỗi vecto đều có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vecto đó. Độ dài của vecto \[ \overrightarrow{a} \] được ký hiệu là \[ |\overrightarrow{a}| \] Do đó đối với các vectơ \[ \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{PQ}},\ldots \] ta có: \[ |\overrightarrow{\text{AB}}|=\text{AB}=\text{BA};|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\text{PQ}=\text{QP} \] - Phương pháp: muốn tính độ dài vectơ, ta tính độ dài cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ. - Trong hệ tọa độ: Cho \[ \overrightarrow{\text{a}}=\left( {{\text{a}}_{1}};{{\text{a}}_{2}} \right) \] Độ dài vectơ \[ \overrightarrow{a} \] là \[ |\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}} \] . Khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ Áp dụng công thức sau Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai điểm M(xM;yM) và N(xN;yN) là \[ \text{MN}=|\overrightarrow{\text{MN}}|=\sqrt{{{\left( {{\text{x}}_{\text{N}}}-{{\text{x}}_{\text{M}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{\text{y}}_{\text{N}}}-{{\text{y}}_{\text{M}}} \right)}^{2}}} \] Dạng 2. Tính góc giữa hai vectoPhương pháp giải Cách 1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai vectơ Cách 2. (Áp dụng trong hệ tọa độ) Tính cos góc giữa hai vectơ, từ đó suy ra góc giữa 2 vectơ. Sử dụng công thức sau: Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \] Dạng 3. Tìm m để góc giữa hai vecto bằng một số cho trướcPhương pháp giải Bước 1. Xác định vecto (nếu chưa có) theo tham số m. Bước 2. Tính độ dài các vecto theo tham số m. Bước 3. Áp dụng công thức tính cos góc giữa hai vecto Cho hai vectơ \[ \vec{a}=(x;y)\,;\vec{b}=\left( x';y' \right) \] . Khi đó \[ \cos (\vec{a};\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\cdot \sqrt{x{{'}^{2}}+y{{'}^{2}}}}(\vec{a}\ne \vec{0},\vec{b}\ne \vec{0}) \] Bước 4. Đưa r phương trình chưa ẩn m. Góc giữa hai vecto bằng \[ \alpha \Leftrightarrow \cos (\vec{a};\vec{b})=\cos \alpha \] Bước 5. Giải phương trình, đưa ra giá trị của m. III. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOABài 1 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: A, B , C là ba góc của ΔABC nên ta có: A + B + C = 180º a) sin A = sin (180º – A) = sin (B + C) b) cos A = – cos (180º – A) = –cos (B + C) Bài 2 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: ΔAOB cân tại O nên OH là đường cao đồng thời là đường phân giác \[ \Rightarrow \widehat{\text{AOB}}=2\widehat{\text{AOH}}=2\cdot \alpha \] Xét ΔOAK vuông tại K có: \[ \text{sin}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{AK}}{\text{OA}} \] \[ \Rightarrow \text{AK}=\text{OA}\cdot \text{sin}\widehat{\text{AOK}} \] \[ =\text{a}\cdot \text{sin}2\alpha \] \[ \text{cos}\widehat{\text{AOK}}=\frac{\text{OK}}{\text{OA}} \] \[ \Rightarrow \text{OK}=\text{OA}\cdot \text{cos}\widehat{\text{AOK}} \] \[ =\text{a}\cdot \text{cos}2\alpha \] Bài 3 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: a) sin 105º = sin (180º – 105º) = sin 75º ; b) cos 170º = –cos (180º – 170º) = –cos 10º; c) cos 122º = –cos (180º – 122º) = –cos 58º. Bài 4 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: Vẽ đường tròn lượng giác (O; 1). Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho \[ \overrightarrow{\text{MOx}}=\alpha \] Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0. Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên x02 + y02 = OM2 = 1⇒ sin2 α + cos2 α = 1. Bài 5 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: Ta có : sin2 x + cos2 x = 1 ⇒ sin2 x = 1 – cos2 x. ⇒ P = 3.sin2 x + cos2 x = 3.(1 – cos2x) + cos2 x = 3 – 3.cos2x + cos2x = 3 – 2.cos2x = 3 – 2.(1/3)2 = 3 – 2/9 = 25/9. Bài 6 (trang 40 SGK Hình học 10):Lời giải: Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AE}}=\overrightarrow{\text{BA}} \] Khi đó \[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AE}} \right) \] \[ =\widehat{\text{CAE}}={{180}^{\circ }}-\overline{\text{CAB}} \] \[ ={{180}^{\circ }}-{{45}^{\circ }}={{135}^{\circ }} \] Do đó: \[ \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BA}} \right)=\text{cos}{{135}^{\circ }}=\frac{-1}{\sqrt{2}} \] Vẽ \[ \overrightarrow{\text{AF}}=\overrightarrow{\text{BD}} \] như hình vẽ Khi đó: \[ \left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right)=\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{AF}} \right)=\widehat{\text{FAC}}={{90}^{\circ }} \] Vậy \[ \text{sin}\left( \overrightarrow{\text{AC}},\overrightarrow{\text{BD}} \right)=\text{sin}{{90}^{\circ }}=1 \] \[ \overrightarrow{\text{AB}} \] và \[ \overrightarrow{\text{CD}} \] là hai vector ngược hướng \[ \left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right)={{180}^{\circ }} \] Vậy \[ \text{cos}\left( \overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{CD}} \right)=\text{cos}{{180}^{\circ }}=-1 \] Gợi ý Giải bài tập sách giáo khoa giá trị lượng giác của một góc bất kì toán học 10, toán 10 đại số lý thuyết trọng tâm giúp học sinh nắm vững kiến thức nhanh nhất |