Thành lập phương trình trạng thái của mạch điện
Các biến trạng thái của mạch là một tập hợp gồm nhiều biến có liên quan tới năng lượng của các thành phần lưu trữ năng lượng trong mạch. Như vậy, chúng mô tả đáp tuyến hoàn chỉnh trong một mạch đổì với một chức năng bắt buộc và các điều kiện ban đầu của mạch, ở đây từ trạng thái có nghĩa là điều kiện, giống như trong trạng thái liên kết. Chúng ta sẽ chọn các biến đó dưới dạng các biến trạng thái mô tả sự lưu trữ năng lượng của một mạch. Như vậy, chúng ta sẽ sử dụng các điện áp độc lập của tụ điện và các dòng điện độc lập của cuộn cảm. Hãy xem xét mạch được minh họa ở hình 1.10.1. Hai thành phần lưu trữ năng lượng là C1 và C2 và hai tụ điện không thể qui về thành một. Chúng ta muốn mạch này phải được mô tả thành một phương trình vi phân bậc hai. Tuy nhiên, trước tiên chúng ta hãy tìm các phương trình vi phân bậc nhất dành cho đáp tuyến v1(t) và v2(t), đây là các biến trạng thái của mạch. Nếu chúng ta biết giá trị của các biến trạng thái vào một thời điểm và giá trị của các biến đầu vào sau đó, thì ta có thể tìm được giá trị của một biến trạng thái bất kỳ vào một thời gian bất kỳ kế tiếp. H ìn h 1 .1 0 .1 mạch có hai thành phần lưu trữ năng lượng.Viết KCL tại các nút 1 và 2, ta có Các phương trình 1.10.1 và phương trình 1.10.2 có thể được viết lại như sau: Giả sử rằng C1R1 = 1, C1R2 = 1, C2R3 = 1, và C2R2 = 1/2. Khi đó ta có và Bằng cách sử dụng các toán tử: Nếu chúng ta muốn giải để tìm v1 thì chúng ta sử dụng định luật Cramer để tìm Phương trình đặc tính được tìm từ mẫu thức và có dạng s2 + 5s + 4 = 0 (1.10.8) Các nghiệm đặc tính là s = -4 v à s = -1. Phương trình vi phân bậc hai có thể được tìm bằng cách viết lại phương trình 1.10.7 như sau (s2 + 5s + 4)v1 = (s + 3)va + vb Khi đó phương trình vi phân dành cho v1 là : Bây giờ ta tiếp tục tìm đáp tuyến tự nhiên và đáp tuyến bắt buộc, phụ thuộc vào dạng hàm sô bắt buộc. Ví dụ, nếu va = 10V và vb -=6V, v1f sẽ là một hằng số (xem bảng 1.8.1). Chúng ta tìm v1f bằng cách thay thế va và vb vào phương trình 1.10.8, ta tìm được: Chúng ta thường sẽ biết các điều kiện ban đầu của các th à n h phần lưu trữ năng lượng. Ví dụ, nếu ta biết rằng v1 = 5V và v2 = 10V, thì trước tiên chúng ta sử dụng v1 = 5V với phương trình 1.10.9 để tìm V1(0) = A1 + A2 + 9 và do đó: A1 + A2 = -4 (1.10.10) Bây giờ chúng ta cần giá trị của dv1 /dt tại t = 0. Hãy xem lại phương trình 1.10.5, ta có Do đó, tại t = 0 ta có Đạo hàm hoàn chỉnh của phương trình 1.10.1, tại t = 0 là do đó: A1 + A2 = -10 (1.10.11) Bằng cách giải các phương trình 1.10.10 và phương trình 1.10.11, ta có A1 = -2, A2 = -2 do đó: V1(t) = -2e-t -2e-4t + 9 V Khi bạn gặp các mạch có hai hay nhiều thành phần lưu trữ năng lượng, thi bạn nên xem xét việc sử dụng phương pháp biến trạng thái để mô tả các tập hợp của phương trình vi phân bậc nhất. Phương pháp biến trạng thái sử dụng một phương trình vi phân bậc nhất cho mỗi biến trạng thái để xác định đáp tuyến hoàn chỉnh cho mỗi mạch. Một bảng tóm tắt về phương pháp biến trạng thái được cho trong bảng 1.10.1. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này trong ví dụ 1.10.1 Bảng 1.10.1 Phương pháp biến trạng thái về việc phân tích mạch.
|