Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \[n 2\], ta có các bất đẳng thức:
LG a
\[3^n> 3n + 1\]
Phương pháp giải:
Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.
Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \[n=2\].
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \[n=k \ge 2\] [giả thiết quy nạp]. Chứng minh đẳng thức đúng đến \[n=k+1\].
Khi đó đẳng thức đúng với mọi \[n \in N^*\].
Lời giải chi tiết:
Với\[n=2\] ta có: \[3^2 = 9 > 7 = 3.2+1\] [đúng]
Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n = k 2\], tức là
\[3^k> 3k + 1\] [1].
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \[n=k+1\], tức là cần chứng minh:\[3^{k+1}> 3[k+1] + 1=3k+4\]
Nhân hai vế của [1] với \[3\], ta được:
\[3^{k+1}> 9k + 3 \]
\[\Leftrightarrow 3^{k+1}> 3k + 4 + 6k -1\]
Vì \[k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\] nên \[3^{k+1}>3k + 4 +11 > 3k + 4 = 3[k+1]+1].\]
Tức là bất đẳng thức đúng với \[n = k + 1\].
Vậy \[3^n> 3n + 1\] với mọi số tự nhiên \[n 2\].
LG b
\[2^{n+1}> 2n + 3\]
Lời giải chi tiết:
Với \[n = 2\] thì\[{2^{2 + 1}} = 8 > 7 = 2.2 + 3\] [đúng]
Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n =k 2\], tức là
\[2^{k+1}> 2k + 3\] [2]
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \[n= k + 1\], nghĩa là phải chứng minh
\[{2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left[ {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right] + 3{\rm{ }} \]
\[\Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\]
Nhân hai vế của bất đẳng thức [2] với \[2\], ta được:
\[{2^{k + 2}} > 4k + 6 \]
\[\Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\]
Vì \[k \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\] nên \[{2^{k + 2}}> 2k + 5\].
Tức là bất đẳng thức đúng với \[n=k+1\].
Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \[{2^{n+1}}> 2n + 3\] đúng với mọi số tự nhiên \[n 2\].
Cách khác:
+ Với \[n = 2\] thì bất đẳng thức\[ \Leftrightarrow \;8 > 7\][luôn đúng].
+ Giả sử bđt đúng khi \[n = k \ge 2\], nghĩa là\[{2^{k + 1}}\; > 2k + 3.\]
Ta chứng minh đúng với \[n=k+1\] tức là chứng minh:\[{2^{k + 2}}\; > 2[k +1]+ 3.\]
Thật vậy, ta có:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}}\; = {\rm{ }}{{2.2}^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}}\\
{ > {\rm{ }}2.\left[ {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right] = {\rm{ }}4k + 6{\rm{ }} = 2k + 2 + 2k + 4.}\\
{ > {\rm{ }}2k + 2 + 3 = 2.\left[ {k + 1} \right] + 3}
\end{array}\]
[Vì \[2k + 4 >3\] với mọi \[k 2\]]
\[ \Rightarrow \;\left[ 2 \right]\]đúng với \[n = k + 1\].
Vậy \[{2^{n{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}\; > {\rm{ }}2n + 3\;\]với mọi \[n 2\].