- LG a
- LG b
Cho đường tròn \[\left[ C \right]\]: \[{[x + 1]^2} + {[y - 2]^2} = 9\] và điểm \[M[2; - 1]\].
LG a
Chứng tỏ rằng qua \[M\] ta vẽ được hai tiếp tuyến \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] với \[\left[ C \right]\], hãy viết phương trình của \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\].
Phương pháp giải:
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua \[M\] trong hai trường hợp \[\Delta \] có hệ số góc và không có hệ số góc.
Chú ý: Đường thẳng \[\Delta \] là tiếp tuyến với \[\left[ C \right]\] \[ \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] = R\].
Lời giải chi tiết:
\[\left[ C \right]\] có tâm \[I[-1;2]\] và có bán kính \[R = 3\].
Đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[ M[2;-1] \] và có hệ số góc \[k\] có phương trình:
\[y + 1 = k\left[ {x - 2} \right] \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\]
Ta có: \[\Delta \] tiếp xúc với \[\left[ C \right]\]\[ \Leftrightarrow d[I;\Delta ] = R\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - k - 2 - 2k - 1} \right|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 3\]
\[ \Leftrightarrow \left| {k + 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \] \[ \Leftrightarrow {k^2} + 2k + 1 = {k^2} + 1\]\[ \Leftrightarrow k = 0.\]
Vậy ta được tiếp tuyến\[{\Delta _1}:y + 1 = 0.\]
Xét đường thẳng \[{\Delta _2}\] đi qua \[M[2;-1]\] và vuông góc vớiOx, \[{\Delta _2}\] có phương trình \[x - 2 = 0\].
Ta có\[d\left[ {I;{\Delta _2}} \right] = \left| { - 1 - 2} \right| = 3 = R\].
Suy ra\[{\Delta _2}\] tiếp xúc với \[\left[ C \right]\].
Vậy qua điểm \[M\] ta vẽ được hai tiếp tuyến với \[\left[ C \right]\], đó là: \[{\Delta _1}:y + 1 = 0\] và \[{\Delta _2}:x - 2 = 0\].
LG b
Gọi \[{M_1}\] và \[{M_2}\] lần lượt là hai tiếp điểm của \[{\Delta _1}\] và \[{\Delta _2}\] với \[\left[ C \right]\], hãy viết phương trình của đường thẳng \[d\] đi qua \[{M_1}\] và \[{M_2}\].
Phương pháp giải:
Tìm tọa độ hai tiếp điểm, từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Lời giải chi tiết:
Gọi \[{M_1}\] là tiếp điểm của \[{\Delta _1}\] và \[\left[ C \right]\]. Khi đó tọa độ của \[{M_1}\] thỏa mãn:
\[\left\{ \begin{array}{l}y + 1 = 0\\{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 9\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\{\left[ {x + 1} \right]^2} + 9 = 9\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\{\left[ {x + 1} \right]^2} = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x = - 1\end{array} \right.\]
Do đó \[{M_1}\left[ { - 1; - 1} \right]\].
Gọi \[{M_2}\] là tiếp điểm của \[{\Delta _2}\] và \[\left[ C \right]\]. Khi đó tọa độ của \[{M_2}\] thỏa mãn:
\[\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{\left[ {x + 1} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 9\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\9 + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 9\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\{\left[ {y - 2} \right]^2} = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\]
Do đó \[{M_2}\left[ {2;2} \right]\].
\[{\Delta _1}\] tiếp xúc với \[\left[ C \right]\] tại \[{M_1}\left[ { - 1; - 1} \right]\];
\[{\Delta _2}\] tiếp xúc với \[\left[ C \right]\] tại \[{M_2}\left[ {2;2} \right]\].
Ta có: \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left[ {3;2} \right]\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {{n_{{M_1}{M_2}}}} = \left[ {1; - 1} \right]\] là VTCP của \[{M_1}{M_2}\].
Đường thẳng \[{M_1}{M_2}\] đi qua \[{M_1}\left[ { - 1; - 1} \right]\] và nhận \[\overrightarrow {{n_{{M_1}{M_2}}}} = \left[ {1; - 1} \right]\] làm VTPT.
\[ \Rightarrow {M_1}{M_2}:1\left[ {x + 1} \right] - 1\left[ {y + 1} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow x - y = 0\].
Phương trình của đường thẳng \[d\]đi qua \[{M_1}\] và \[{M_2}\] là: \[x - y = 0\].