Tìm hệ số của số hạng chứa\[{x^8}\]trong khai triển nhị thức Niu-tơncủa\[{\left[ {{1 \over {{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right]^n}\]biết rằng\[C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left[ {n + 3} \right]\]
Đề bài
Tìm hệ số của số hạng chứa\[{x^8}\]trong khai triển nhị thức Niu-tơncủa\[{\left[ {{1 \over {{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right]^n}\]biết rằng\[C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left[ {n + 3} \right]\]
Lời giải chi tiết
Theo hằng đẳng thức Pa-xcan ta có
\[C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n \]\[= C_{n + 3}^{n + 1}\]\[ = C_{n + 3}^2\]\[ = {{[n + 3][n + 2]} \over 2}\]
Suy ra \[[n + 2][n + 3] = 14[n + 3]\].
Vậy \[n = 12\].
Số hạng thứ \[k\] trong khai triển của biểu thức đã cho là \[C_{12}^k{x^{ - 3[12 - k]}}{x^{{{5k} \over 2}}}\].
Ta có phương trình \[ - 3[12 - k] + 5{k \over 2} = 8\].
Suy ra \[11k = 88\] hay \[k = 8\].
Vậy hệ số của số hạng chứa\[{x^8}\]trong khai triển là:\[C_{12}^8 = 495\].