Đề bài - bài 2.32 trang 65 sbt đại số và giải tích 11 nâng cao

Tìm hệ số của số hạng chứa\[{x^8}\]trong khai triển nhị thức Niu-tơncủa\[{\left[ {{1 \over {{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right]^n}\]biết rằng\[C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left[ {n + 3} \right]\]

Đề bài

Tìm hệ số của số hạng chứa\[{x^8}\]trong khai triển nhị thức Niu-tơncủa\[{\left[ {{1 \over {{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right]^n}\]biết rằng\[C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left[ {n + 3} \right]\]

Lời giải chi tiết

Theo hằng đẳng thức Pa-xcan ta có

\[C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n \]\[= C_{n + 3}^{n + 1}\]\[ = C_{n + 3}^2\]\[ = {{[n + 3][n + 2]} \over 2}\]

Suy ra \[[n + 2][n + 3] = 14[n + 3]\].

Vậy \[n = 12\].

Số hạng thứ \[k\] trong khai triển của biểu thức đã cho là \[C_{12}^k{x^{ - 3[12 - k]}}{x^{{{5k} \over 2}}}\].

Ta có phương trình \[ - 3[12 - k] + 5{k \over 2} = 8\].

Suy ra \[11k = 88\] hay \[k = 8\].

Vậy hệ số của số hạng chứa\[{x^8}\]trong khai triển là:\[C_{12}^8 = 495\].

Video liên quan

Chủ Đề