Đề bài
Cho phương trình [ẩn \[x\]] \[{x^2}-{\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\].
a] Tính \[\Delta '\].
b] Với giá trị nào của \[m\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Có nghiệm kép ? Vô nghiệm ?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét phương trình: \[a x^2 +2b'x+c=0 \, \, \, [a \neq 0].\]
Có \[\Delta'=b'^2-ac.\]
+] Nếu \[\Delta' > 0\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\]
+] Nếu\[\Delta' = 0\] thì phương trình có nghiệm kép:\[{x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}.\]
+]Nếu\[\Delta' < 0\] thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết
a] \[{x^2}-{\rm{ }}2\left[ {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right]x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\]có \[a = 1, b = -2[m - 1], \, \, b' = -[m - 1], \, \, c{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^2}.\]
\[\Rightarrow \Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - \left[ {m{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right]} \right]^2}-{\rm{ }}{m^2} \\= {\rm{ }}{m^2}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m.\]
b] Ta có \[\Delta' = 1 2m\] và \[a=1 \ne 0\]
+] Phương trình có hai nghiệm phân biệt\[ \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}.\]
+] Phương trình có nghiệm kép \[ \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}.\]
+] Phương trình vô nghiệm\[ \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow 1 - 2m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}.\]