Đề bài
Trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] cho bốn điểm: \[A[7; -3]; B[8; 4]; C[1; 5]; D[0;-2]\].
Chứng minh rằng tứ giác \[ABCD\] là hình vuông.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\[ + ]\;\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB//DC\\
AB = DC
\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow ABCD\] là hình bình hành.
\[ + ]\;\;\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD} \] \[ \Rightarrow ABCD\] là hình chữ nhật.
\[ + ]\; AB = AD \Rightarrow ABCD\] là hình vuông.
Lời giải chi tiết
Ta có:\[\vec{AB} = [1; 7]\]; \[\vec{DC}= [1; 7]\],\[\vec{AD} = [-7; 1]\]
\[\Rightarrow \vec{AB} = \vec{DC}\]
Mà \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \] không cùng phương
\[\Rightarrow\] Tứ giác \[ ABCD\] là hình bình hành [1]
Ta có :
\[\begin{array}{l}
AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {7^2}} \\
= \sqrt {50} = 5\sqrt 2 \\
AD = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {{{\left[ { - 7} \right]}^2} + {1^2}} \\
= \sqrt {50} = 5\sqrt 2
\end{array}\]
Suy ra \[AB = AD\], kết hợp với [1] suy ra \[ABCD\] là hình thoi [2]
Mặt khác\[\vec{AB} = [1; 7]\];\[\vec{AD} = [-7; 1]\]
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 1.[ - 7] + 7.1 = 0\]
\[ \Rightarrow \vec{AB}\vec{AD}\] nên \[AB\bot AD\] [3]
Kết hợp [2] và [3] suy ra \[ABCD\] là hình vuông.
Chú ý:
Các em cũng có thể đổi thứ tự chứng minh \[AB\bot AD\] lên trước để suy ra tứ giác là hình chữ nhật, rồi sau đó chứng minh \[AB=AD\] suy ra tứ giác là hình vuông cũng được.