Đề bài
Cho tam giác \[AHB\] có \[\widehat H = 90^\circ ,\widehat A = 30^\circ \] và \[BH = 4cm.\] Tia phân giác của góc \[B\] cắt \[AH\] tại \[O.\] Vẽ đường tròn \[[O; OH]\] và đường tròn \[[O; OA].\]
\[a]\] Chứng minh đường tròn \[[O; OH]\] tiếp xúc với cạnh \[AB.\]
\[b]\] Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+] Tính chất tia phân giác của một góc: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
+] Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với \[\tan\] góc đối.
+] Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với \[\cos\] góc kề.
+] Diện tích \[S\] của một hình tròn bán kính \[R\] được tính theo công thức: \[S=\pi.R^2\].
Lời giải chi tiết
\[a]\] Kẻ \[OK \bot AB\] tại \[K\]
Vì \[BO\] là đường phân giác của \[\widehat B\] [gt]
\[ \Rightarrow OK = OH\] [tính chất đường phân giác]
Suy ra: \[OK\] cũng là bán kính của đường tròn \[[O;OH]\]
Vậy đường tròn \[[O; OH]\] tiếp xúc với \[AB\] tại \[K.\]
\[b]\] \[\Delta AHB\] có \[\widehat H = {90^0}\]; \[\widehat A = {30^0}\]
Suy ra: \[\widehat B = {60^0} \Rightarrow \widehat {ABO} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat B = {30^0}\]
Suy ra: \[OAB\] cân tại \[O\] nên \[OB = OA\]
Vậy \[B \in [O; OA]\]
\[BHO\] có \[\widehat H = {90^0}\]; \[\widehat {OBH} = {30^0}\]
\[OH = BH.\tan {30^0} \]\[=\displaystyle 4.{{\sqrt 3 } \over 3} = {{4\sqrt 3 } \over 3}\;\;[cm]\]
\[OB = \displaystyle{{BH} \over {\cos \widehat {OBH}}} \]\[= \displaystyle{4 \over {\cos {{30}^0}}} = {4 \over \displaystyle{{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{8\sqrt 3 } \over 3}\] \[[cm]\]
Diện tích đường tròn nhỏ: \[S_1=\displaystyle\pi {\left[ {{{4\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = {{16\pi } \over 3}\]\[[cm^2]\]
Diện tích đường tròn lớn: \[{S_2} = \displaystyle\pi {\left[ {{{8\sqrt 3 } \over 3}} \right]^2} = {{64\pi } \over 3}\] \[[cm^2]\]
Diện tích hình vành khăn:
\[S={S_2} - {S_1} = \displaystyle{{64\pi } \over 3} - {{16\pi } \over 3} \]\[=\displaystyle {{48\pi } \over 3} = 16\pi \]\[[cm^2]\]