Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

ĐỀ TÀI ”SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”Phần 1- ĐẶT VẤN ĐỀ1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀIBài toán hình học không gian là một trong những dạng bài quan trọng, làdạng toán thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh vào các trườngĐại học-Cao đẳng, đề thi học sinh giỏi và trong cuộc sống. Tuy nhiên trong thực tế,rất nhiều học sinh còn lúng túng chưa biết cách giải bài toán trên vì lý do đã quênnhiều kiến thức hình không gian lớp 11. Cho nên trong quá trình làm bài tập, giải đềthi, các em học sinh còn bỏ câu hình học không gian này.Phương pháp tọa độ trong không gian là một phần kiến thức quan trọng củahình học 12 mà học sinh được học suốt kỳ II.Mảng kiến thức này giúp các em giảiquyết một câu hình học trong hệ tọa độ Oxyz thường gặp trong đề thi tốt nghiệpTHPT và cao đẳng-đại học.Do các em được tiếp xúc nhiều trong năm học 12 gầnvới kỳ thi nên kiến thức vận dụng sẽ có phần dễ dàng hơn kiến thức lớp 11. Từthực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn họcsinh lớp 12 sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải một số bài toánhình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái tiếp thu và chủ động giảiquyết các bài toán hình học không gian. Việc hướng dẫn học sinh giải toán khôngphải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phảihướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữagiả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giảibài toán.2. MỤC ĐÍCH SKKNDo đây là phần nội dung kiến thức rất phổ biến trong chương trình học tập vàôn luyện thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng. Nên mục đích của việc nghiên cứu đề1tài này là cung cấp cho các em học sinh một phương pháp hữu ích trong giải toánhình không gian 11 bằng phương pháp tọa độ của lớp 12.3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:a) Đối tượng nghiên cứu:Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là:Các dạng toán thường gặp như tính :• Độ dài đoạn thẳng• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng• Khoảng cách giữa hai đường thẳng• Góc giữa hai đường thẳng• Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng• Góc giữa hai mặt phẳng• Thể tích khối đa diện• Diện tích thiết diện• Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc.b) Phạm vi nghiên cứu:Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu là kiến thức Hình học lớp 11, 12 vàcác đề thi tốt nghiệp THPT, đại học, cao đẳng trong những năm gần đây.4. KẾ HOẠCH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:- Tìm hiểu sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo, các đề thi…- Dạy học đề tài ở các lớp- Rút kinh nghiệm sau các tiết dạy học sinh;- Tham khảo ý kiến của các thầy, cô trong tổ Toán-Tin của trường .23Phần 2- NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:A-THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:Qua điều tra và thực tiễn giảng dạy và kiểm tra cho thấy đa phần học sinhcảm thấy khó khăn trong việc giải quyết bài hình không gian vì đã quên kiến thứcliên quan lớp 11 và các em thường mắc phải những khó khăn sau:- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng loại bài- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biếnđổi…trong bước trung gian. Lập luận không chặt chẽ; xác định đề bài sai…B- CƠ SỞ LÍ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU1.Trình tự giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo cácbước sau :* Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trícủa gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích*Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.* Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chấthình học tương ứng.2.Lý thuyết cần nắm:Cách xác định tọa độ điểm,véc tơ,phương trình mặt phẳng, đường thẳng ,cáccông thức tính khoảng cách ,góc, diện tích, thể tích một số hình đã học trong lớp11,12.Một trong các kỹ năng quan trọng của phương pháp này là xác định được hệtrục tọa độ thỏa mãn ba trục đôi một vuông góc. Sau đây ta sẽ cùng nhau tìm hiểukỹ năng này trong các bài toán.3.Một số dạng bài tập áp dụng:3.a.Dạng 1:Hình lăng trụ đứng.3.a.1.Loại 1:Hình lập phương ,hình hộp chữ nhật.z4A’Với hình lập phương cạnh a.Chọn hệ trục tọa độ sao cho :D’B’C’A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; a;0) ; D(0;a;0)A '(0;0; a ) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a)DAVới hình hộp chữ nhật cạnh AB=a;yCD=b.Chọn hệ trục tọa độ sao cho :xCBA(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0)A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)Ví dụ 1: Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' )b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọngtâm củatam giác AB' D' .c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD)d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA' C ) và ( ABB' A' )Hướng dẫnBài giảiDựng hình :zA’Chọn hệ trục toạ độ ĐêcacB’vuông góc Oxyz như sau :O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a )GD’C’DAB(a;0;0) ; B ' (a;0; a)BC ( a; a;0) ; C ' ( a; a; a)xD(0; a;0) ; D' (0; a; a )5Cya. Chứng minh : A' C ⊥ ( AB' D' ) A' C = (a; a;−a )Ta có :  AB' = (a;0; a) AD' = (0; a; a) A' C ⊥ AB'⇒ A' C ⊥ ( AB' D' ) A' C ⊥ AD'Nếu  A' C. AB' = a 2 + 0 − a 2 = 0⇔Vì  A' C. AD' = 0 + a 2 − a 2 = 0 A' C ⊥ AB' A' C ⊥ AD'Nên A' C ⊥ mp( AB' D' )b. Chứng minh : G là trọng tâmGọi G = A' C ∩ ( AB' D' ) Toạ độ giao điểmcủa tam giác AB' D' PhươngG của đường thẳng A' C và mặt phẳngtrình tham số của đường thẳng( AB' D ' ) là nghiệm của hệ :x = tA' C :  y = t (t ∈ R)z = a − tA' Cx = ty = t⇔z = a − t x + y − z = 0Phương trình tổng quát của mặtphẳng ( AB' D' ) a a 2a G ; ;  (1)3 3 3 x A + xB ' + xD ' a= xG =33y +y +yaMặt khác :  yG = A B ' D ' =(2)33z A + z B ' + z D ' 2a= zG =33( AB' D' ) : x + y − z = 0Trong đó vectơ pháp tuyến củamặt phẳng ( AB' D' )[ax = 3ay =32az = 3]n1 = AB', AD' = (−a 2 ;− a 2 ; a 2 )So sánh (1) và (2), kết luậnVậy giao điểm G của đường chéo A' C vàmặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm của tamgiác AB' D'c. Tính d ( ( AB' D' ), (C ' BD) )Ta có :6( AB' D' ) : x + y − z = 0(C ' BD) : x + y − z − a = 0Phương trình tổng quát của mặtphẳng (C ' BD) (C ' BD) : x + y − z − a = 0⇒ ( AB' D ' ) // (C ' BD)⇒Trong đó vectơ pháp tuyến của mặtd ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) = d ( B, ( AB' D' ) ) =phẳng (C ' BD)[]a3n2 = C ' B, C ' D = (a 2 ; a 2 ;−a 2 )d. Tính cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) )Vec tơ pháp tuyến của ( ABB' A' ) làOy ⊥ ( ABB' A' ) ⇒ Vec tơ pháp tuyến củaj = (0 ; 1 ; 0) Vectơ pháp tuyến của ( DA' C )( ABB' A' ) là j = (0 ; 1 ; 0): n3 = (0;1;−1) Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) :[]cos( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) =n3 = DA', DC = (0; a ;−a ) = a (0;1;−1)22212⇒( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = 45oVí dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Gọi N là trung điểmcủa B’C’.a. Chứng minh rằng: AC’ vuông góc với (A’BD).b. Tính thể tích khối tứ diện ANBD’.c. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’.d. Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D).Hướng dẫnBài giảiDựng hình :Chọn hệ trục toạ độ Đêcacvuông góc Oxyz như sau :O ≡ A '(0;0;0) ; A(0;0; a)B (a;0; a ) ; B '( a;0;0)C ( a; a; a ) ; C '(a; a;0)D(0; a; a ) ; D '(0; a;0)7uuuuruuuur uuuura. Chứng minh : Mục đích của taa. AC ' = (a; a; −a),  A ' B, A ' D  = (−a 2 ; −a 2 ; a 2 )là chứng minh một đường thẳnglà véc tơ pháp tuyến của mặt phẳngvuông góc với(A’BD).một mp. Ta sẽ chỉ ra rằng véc tơTa thấy hai véc tơ này cùngchỉ phương của đường thẳng nàyphương. Vì thế ta có AC’ vuông góccùng phương với véc tơ phápvới mp (A’BD).tuyến của mp (A’BD).b. Tính thể tích tứ diện ANBD’ . Tacó công thức tính thể tích tứ diện là:VANBD ' =1 uuur uuur uuuur|  AN , AB  . AD ' | .6 2uuur uuur  AB, AN  =  0; a 2 ; a ÷2 uuuuruuur uuur uuuur a 3, AD ' = (0; a; −a ),  AB, AN  . AD ' =2VANBD ' =a33c. Để tính góc giữa hai đườngDo đó ta có góc giữa hai đườngthẳng và khoảng cách giữa haithẳng AN và BD’ là:đường thẳng ta sử dụng hai cônguuur uuuur| AN .BD ' |3r =cos(AN, BD')= uuur uuuu| AN || BD ' | 9thức sau:rrrr| a.b |Cos(a, b)=|cos(a,b)|= r r ;| a || b |r r uuur.| [a,b]. AB |rrd ( a , b) =| [a,b] |Khoảng cách giữa hai đường thẳngVớinày là:uuuuruuuur uuur|  AN , BD ' . AB | a 26d ( AN , BD ') ==uuuuruuuur26|  AN , BD ' |r ra, b là các véc tơ chỉ phương củađường thẳng a và b. Đường8thẳng a,b lần lượt đi qua haiđiểm A và B.d. Để tính khoảng cách giữa một điểmd.Tính khoảng cách từ C đến mp(AC’D).và mặt phẳng ta áp dụng công* Viết phương trình mp (AC’D)thức:cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểmVec tơ pháp tuyến cùng phương vớiM 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) .uuuur uuur[ AC ', AD]=(-a 2 ;0;-a 2 ) .Ta chọn véc tơ pháp tuyến của mặtd ( M 0 ,( P ) ) =rAx0 + By0 + Cz0 + Dphẳng (AC’D) là n = (1;0;1) .A2 + B 2 + C 2Phương trình mặt phẳng (AC’D) là:x + z –a =0d (C , ( AC ' D)) =a2Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.Chứng minh hai đường chéo B' D' và A' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéonhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B' D' và A' B .Hướng dẫnBài giảizDựng hình :Chọn hệ trục toạ độ ĐêcacA’vuông góc Oxyz như sau :B’O ≡ A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ;D’C’yAB (0; a;0) ; B ' (0; a; a )xC ( a; a;0) ; C ' ( a; a; a)9BDCD(a;0;0) ; D' (a;0; a )Chứng minh B' D' và A' Bchéo nhau, ta chứng minh baTa có : B' D' = (a;− a;0)A' B = (0; a;−a) ;BB' = (0;0; a) Cần chứng minh[B' D', A' B] = (a ; a ; a )[B' D', A' B].BB' = a ≠ 0tích hỗn hợp của ba vectơ⇒ ba vectơ B ' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng.vectơ B' D'; A' B, BB' khôngđồng phẳng.B ' D'; A' B, BB ' khác 0Tính d ( B' D' , A' B )d ( B ' D' , A' B ) =2223hay B' D' và A' B chéo nhau.d ( B ' D' , A' B ) =[ B ' D', A' B ].BB '[ B ' D', A' B ]10a3a +a +a444=a3a23=a 333.a.1.Loại 2:Lăng trụ đứng tam giác đáy là tam giác vuông .Với hình lăng trụ đứng tam giác đáyzA’là tam giác ABC vuông ở AChB’Chọn hệ trục tọa độ sao cho :O ≡ A(0;0;0) ,C’Tia Ox trùng tia AC;Tia Oy trùng tia AB;BOACyxVí dụ 1:(khối B-2005)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụđứng ABC. A1B1C1 với A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) .Tìm toạ độ các đỉnh A1 ; C1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc vớimặt phẳng ( BCC1B1 ) . Gọi M là trung điểm của A1B1 . Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1 .Hướng dẫnBài giảiDựng hình :A1Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuôngzgóc Oxyz như sau : O(0;0;0) ;Với :A(0;−3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4)B1 A (0;−3;4)⇒ 1C1 (0;3;4)MC1xyToạ độ trung điểm M của A1B1A3 M  2;− ;4) 2 B11OCTa có : A1 (0;−3;4) ∈ mp(Oyz )Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 .C1 (0;3;4) ∈ mp(Oyz )Phương trình mặt cầu có tâm làA và tiếp xúc với mặt phẳng( BCC1B1 )Vectơ pháp tuyến của mp ( BCC1B1 )n = [ BC , BB1 ] = (12; 16; 0)Phương trình tổng quát của mp ( BCC1B1 ) :Viết phương trình mp( BCC1 B1 )Tìm bán kính của mặt cầu (S)( BCC1B1 ) : 3 x + 4 y − 12 = 0Bán kính của mặt cầu (S) : R =245R = d ( A, ( BCC1B1 ) )(S) : x 2 + ( y + 3) 2 + z 2 =Phương trình mặt cầu (S) :Phương trình mặt phẳng (P) :57625Vectơ pháp tuyến của (P) :Tìm vectơ pháp tuyến của (P) AM ⊂ ( P )⇒ nP = [ AM , BC1 ] BC1 // ( P ) 3 AM =  2; ;4  ; BC1 = (−4;3;4) 2 nP = [ AM , BC1 ] = ( −6;−24;12)Phương trình mặt phẳng (P) :( P ) : x + 4 y − 2 z + 12 = 0Ví dụ 2:(khối B-2008): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tamgiác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tínhtheo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đườngthẳng AM, B’C .Hướng dẫnBài giảizDựng hình :B’A’Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuôngC’12BMCAxygóc Oxyz như sau :B (0;0;0)A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; B’ ( 0;0; a 2 )M  ;0;0 ÷2auuuur a uuuurAM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a 22uuuurAB ' = 0; − a; a 2(())Chứng minh AM và B’C chéonhau2uuuur uuuur  AM , B ' C  =  a 2 2; a ; a 2 ÷2+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’VABC . A ' B 'C ' = AA '.S ∆ABC =1 3a 22đvtt+ Khoảng cách giữa AM và B’Cuuuur uuuur uuuur a3AM,B'CAB'=Vì : 2⇒ AM và B’C chéo nhauuuuur uuuur uuuur AM , B ' C  AB 'd ( AM , B ' C ) =uuuur uuuur AM , B ' C a3a 72==712a 4 + a 4 + a 42Ví dụ 2:(khối B-2010): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a,góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 0. Gọi G là trọng tâm tam giácA’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnGABC theo a.13Hướng dẫnBài giảiGọi O là trung điểm của cạnhA’BC. Tam giác ABC đều cạnh anên AO ⊥ BC và AO =a 3.2Chọn hệ trục Oxyz với O là gốc tọaC’zB’xyGAđộ, tia OA ≡ tia Ox, tia OC ≡ tia Oy,COtia Oz song song và cùng hướngBvới tia AA’O là trung điểm của cạnh BCChọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.Khi đó :A(aa 3;0;0),B(0; − ;0),22a2C(0; ;0),A’(G(3aa 3;0; )22aa 3;0; ).26Ta có góc giữa mặt phẳng (A’BC)và(ABC) là góc A·' OA = 60o⇒ AA ' = OA.tan 60o =3a.2⇒ VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ABC3a a 2 3 3a 3 3= .=248Gọi dạng phương trình mặt cầungoại tiếp tứ diện GABC là:x 2 + y 2 + z 2 − 2bx − 2cy − 2dz + e = 0 .14Thay lần lượt tọa độ G, A, B, Cvào phương trình trên ta cóa2 a 3b − ad + e = 0a 3 −3b =363a 2− a 3b + e = 0c = 0 4⇔ 2a a + ac + e = 0d = −124 2a2e=−a − ac + e = 044Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diệnGABC có bán kính là :a2 a2a27a.R=++ 0 − (− ) =12 144412Ví dụ 3:( (ĐH khối D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABCvuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theoa thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.Hướng dẫnBài giảizB’A’Dựng hình :C’Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuônggóc Oxyz như sau :AOBMB (0;0;0)CA ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; B’ ( 0;0; a 2 )M  ;0;0 ÷2a15xyuuuur a uuuurAM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a 22uuuurAB ' = 0; − a; a 2(())Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.Suy ra:B (0;0;0)A ( 0; a;0 ) ; C ( a;0;0 ) ; B’ ( 0;0; a 2 )M  ;0;0 ÷2auuuur a uuuurAM =  ; − a;0 ÷ ; B ' C = a;0; −a 22uuuurAB ' = 0; − a; a 2((⇒V))1a3 2= BB .( .BA.BC ) =22/ABC . A/ B / C /*Tính khoảng cách giữa AM và B’CVì M là trung điểm của BCuuuur aa⇒ M ( ;0;0) ⇒ AM = ( ; − a;0)22uuuurMà B ' C = (a;0; −a 2)uuuur uuuura2 2 2⇒  AM , B ' C  = ( a 2 2;;a )2uuurMặt khác: AC = (a; −a;0)uuuur uuuur uuur a 3 2 AM , B ' C  . ACa 7⇒ d ( AM , B ' C ) == 22 =uuuur uuuur7a 7 AM , B ' C 23.b.Dạng 2:Hình chóp3.b.1.Loại 1:Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy và đáy có ít nhất mộtgóc vuông.Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật ,hình vuông và SA ⊥(ABCD)16zSABCD là hình chữ nhậtAB = a; AD = bchiều cao bằng hChọn hệ trục tọa độ như hình vẽ saoyDAOcho A(0;0;0)BCxKhi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( a; b;0 )D ( 0; b;0 ) ; S (0;0; h)Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại AzTam giác ABC vuông tại A cóSAB = a; AC = b đường cao bằng h .Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽyCAsao cho A(0;0;0)BKhi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )xS ( 0;0; h )Với hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ABCD là hình thangvuông tại A zSChọn hệ trục tọa độ như hình vẽsao cho A(0;0;0) .Tia Ox trùng vớitia AB.Tia Oy trùng với tia AD. TiaOz trùng với tia AS.DOA17BxCyVí dụ 1(ĐH khối A – 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuôngcạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểmcủa CN và DM. Biết SH ⊥ (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chópS.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.Hướng dẫnDựng hình :Bài giảiSzChọn hệ trục toạ độ Đêcacvuông góc Oxyz như hình vẽ vẽysao cho C(0;0;0) .Tia Ox trùngNvới tia CB.Tia Oy trùng với tiaHCD. Tia Oz vuông vớimp(ABCD) tại CTa có :ADMCOBxC ≡ O(0;0;0), B(a;0;0),D(0;a;0), A(a;a;0).*VS .CDNM = VS . ABCD − VS .BCM − VS . AMNuuur uuuur uuuurCS , DM  .CMd ( SC , DM ) =uuur uuuur*CS , DM *Tính thể tích khối chóp S.CDNMTa có:18VS .CDNM = VS . ABCD − VS . BCM − VS . AMN1= SH .( S ABCD − S BCM − S AMN )31a2 a25a 3 32= .a 3( a − − ) =34824* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngDM và SC theo aChọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, ta cóC ≡ O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0),A(a;a;0).a2M là trung điểm AB ⇒ M (a; ;0)a2N là trung điểm AD ⇒ N ( ; a;0)H∈ (Oxy ) ⇒ H ( x; y;0)H = DM ∩ CNuuur uuuruuuur uuuur⇒ CH , CN cùng phương và DH , DMcùng phương⇒x yx y−a2a4a==,y=a a và aa ⇒x=−5522. Vậy H(2a 4a2a 4 a; ;0 ) ⇒ S ( ; ; a 3)5 55 5Khi đó,uur 2a 4auuuuraCS = ( ; ; a 3), DM = ( a; − ;0)5 52uur uuuura2 3 2⇒ CS , DM  = (; a 3; − a 2 )2uuuuraMặt khác CM = (a; ;0)219uuur uuuur uuuurCS , DM  .CM⇒ d ( SC , DM ) =uuur uuuurCS , DM a3 32a 57= 2=19a 192.Ví dụ 2:(CĐ-2008):Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,··BAD= ABC= 900 AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với đáy và SA = 2a . GọiM,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữnhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a.Hướng dẫnBài giảizDựng hình :SChọn hệ trục toạ độ Đêcac vuônggóc Oxyz như sau :NMA(0;0;0) ; B ( a;0;0 ) ; C ( a; a;0 ) ; D( 0; 2a;0 ) ; S ( 0;0; 2a )DAM ( 0;0; a ) ; N ( 0; a; a )BCx20yuuuuruuurMN = ( 0; a;0 ) ; BC = ( 0; a;0 )uuurMB = ( a;0; −a )uuuruuurSM = ( 0;0; −a ) ; SC = ( a; a; −a )uuruuurSB = ( a; 0; −2a ) ; SN = ( 0; a; −a )uuur uuur SM , SC  = a 2 ; −a 2 ;0(+ Chứng minh BCNM là hình chữnhậtuuuur uuur MN = BC⇒ BCNM là hình chữ nhậtr uuur uuuu MN .MB = 0+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theoaVS . BCNM = VSMCB + VSMCN)uuur uuur uur SM , SC  SB = a 3uuur uuur uuur SM , SC  SN = −a 3VSMCB =r uur a 31  uuur uuu SB =SM,SC66VSMCN =3r uuur1  uuur uuu SN = aSM,SC66VS . BCNM = VSMCB + VSMCNa3=3đvttVí dụ 3:(Khối D-2002)Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặtphẳng(ABC); AC=AD=4 cm ;AB=3 cm; BC=5 cm. Tính khoảng cách từ điểm Ađến mặt phẳng (BCD)Hướng dẫnDựng hình :Bài giảizD∆ABC có : AB 2 + AC 2 = BC 2 = 25nên vuông tại A Chọn hệ trục toạAđộ Đêcac vuông góc Oxyz như sauO ≡ A(0;0;0) ; B (3;0;0) ; C (0;4;0)BHCyIxD(0;0;4) ;Tính : AH = d ( A, ( BCD) )Viết phương trình tổng quátcủa mặt phẳng (BCD)Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)( BCD) :Sử dụng công thức tính21x y z+ + = 1 ⇔ 4 x + 3 y + 3z − 12 = 03 4 4khoảng cách từ một điểm đếnd ( A, ( BCD) ) =một mặt phẳng− 1216 + 9 + 9=126 34=17343.b.2.Loại 2:Hình chóp có đáy là đa giác đều.Với hình chóp tứ giác đều S.ABCDzChọn hệ trục tọa độ như hình vẽSGiả sử cạnh hình vuông bằng a vàđường cao SO = hDAyChọn O(0;0;0) là tâm của hình vuôngO a 2 a 2;0;0 ; C ;0;0 Khi đó : A −2  2BCxa 2   a 2 B  0; −;0 ÷÷; D  0; 2 ;0 ÷÷; S (0;0; h)2 Với hình chóp tam giác đều S.ABCChọn hệ trục tọa độ như hình vẽzGiả sử cạnh tam giác đều bằng a vàSđường cao bằng h . Gọi I là trungđiểm của BCChọn hệ trục tọa độ như hình vẽysao cho I(0;0;0) a aKhi đó : A  − ;0;0 ÷; B  ;0;0 ÷ 2CA2IHBx a 3   a 3 C  0;;0 ÷÷; S  0; 6 ; h ÷÷2 (Hoặc ta cũng có thể chọn gốc Otrùng H)Ví dụ 1(Khối B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuôngcạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểmcủa AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính(theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC22Hướng dẫnBài giảizEDựng hình :SGọi O là tâm của hình vuôngABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD)PMyAChọn hệ trục toạ độ Đêcacvuông góc Oxyz như sau :DOO(0;0;0) ; S ( 0;0; h ) ;BNCx a 2a 2;0;0 ÷;0;0÷;C÷ 2÷D2A  − a 2 a 2  0; ; B  0;−;0;0 22Toạ độ trung điểm P của SA Puuuur  3a 2h  uuurMN = ; 0; − ÷÷; BD = (0; −a 2; 0)42 a 2 a 2 a 2 h; 0; ÷;−;h÷ −; E  −÷÷4222 a 2 a 2 h;−; ÷ N24 2÷Vì : MN .BD = 0 ⇒ MN ⊥ BDM  −a 2 a 2 ;−;0 ÷÷4 4Tính (theo a) khoảng cách giữa haiuuuur uuur ah 2 MN;0 ÷Ta có :  , AC  =  0; −÷2đường thẳng MN và AC.uuuur a 2 hAM =  0; −; ÷4 2÷Chứng minh MN và AC chéo nhau23uuuur uuur uuuur a2h≠0Vì :  MN , AC  . AM =4Sử dụng công thức tính khoảng cách⇒ MN và AC chéo nhaugiữa hai đường thẳng chéo nhaud ( MN , AC ) =[ MN , AC ]. AM=[ MN , AC ]a 2h4 =a 24a 2h 22Ví dụ 2:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a .a.Tính thể tích khối chóp S.ABCDb.Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)Hướng dẫnBài zgiảiSDựng hình :Gọi O = AC ∩ BD⇒ SO ⊥ ( ABCD)SO = SC 2 − OC 2 = a 2 −ya2 a 2=22AChọn hệ trục toạ độ ĐêcacDOvuông góc Oxyz như sau :BCxa 2O(0;0;0) ; S  0;0;÷;2 ÷ a 2a 2;0;0 ÷;0;0÷;C÷ 2÷D2A  − a 2 a 2  0; ; B  0;−;0;0 22a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD24Phương trình mặt phẳng (SCD)x(SCD): a 22⇔ x+ y+z−+ya 22+za 2211 a 2 a3 2VS . ABCD = SO.S ABCD = ..a =33 26=1a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng(SCD)a 2=02Phương trình mặt phẳng (SCD)(SCD): x + y + z −−d ( A, ( SCD) ) =a 2=02a 2 a 2−223=a 2 a 6=33Qua các ví dụ trên ta thấy việc áp dụng phương pháp tọa độ vào giải bàitoán hình không gian rất khả thi nếu trong đề bài có yếu tố vuông góc để gắn vàohệ trục tọa độ Oxyz . Sau đây ta cùng tìm hiểu thêm một số bài tập để có ý tưởngrõ ràng hơn trong việc chọn vị trí cho hệ trục Oxyz.Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh là 5 tâm O, SOvuông góc với đáy; các cạnh bên SA = 2 3, SB = 3 . Gọi M là trung điểm của cạnhSC.a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng: SA và BM.b) mp (AMB) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.Hướng dẫnBài giảiz SChọn hệ trục tọa độ sao choO(0;0;0)NTia Ox trùng tia OA; Tia OyMtrùng tia OB; Tia Oz trùngDtia OS;xA25COBy