- LG câu a
- LG câu b
- LG câu c
- LG câu d
So sánh [không dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi]:
LG câu a
\[\sqrt 2 + \sqrt 3 \] và \[\sqrt {10} \];
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất: Với \[a > 0,b > 0\] và \[{a^2} < {b^2}\]thì\[a < b\]
Để chứng minh\[a < b\] [ với\[a > 0,b > 0\]] ta chứng minh\[{a^2} < {b^2}\].
Chú ý:\[{\left[ {\sqrt A } \right]^2} = A\][ với\[A > 0\]].
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{[a + b]^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
Lời giải chi tiết:
\[\sqrt 2 + \sqrt 3 \] và \[\sqrt {10} \]
Ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right]^2} = 2 + 2\sqrt 6 + 3 \cr
& = 5 + 2\sqrt 6 \cr} \]
Và \[{\left[ {\sqrt {10} } \right]^2} = 10 = 5 + 5\]
So sánh \[2\sqrt 6 \] và \[5\]:
Ta có: \[{\left[ {2\sqrt 6 } \right]^2} = {2^2}.{\left[ {\sqrt 6 } \right]^2} = 4.6 = 24\]
\[{5^2} = 25\]
Vì \[24 0,b > 0\] và \[{a^2} < {b^2}\]thì\[a < b\]
Để chứng minh\[a < b\] [ với\[a > 0,b > 0\]] ta chứng minh\[{a^2} < {b^2}\].
Chú ý:\[{\left[ {\sqrt A } \right]^2} = A\][ với\[A > 0\]].
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{[a + b]^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
Lời giải chi tiết:
\[\sqrt 3 + 2\] và \[\sqrt 2 + \sqrt 6 \]
Ta có:
\[{\left[ {\sqrt 3 + 2} \right]^2} \]\[= 3 + 4\sqrt 3 + 4 = 7 + 4\sqrt 3 \]
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right]^2} = 2 + 2\sqrt {12} + 6 \cr
& = 8 + 2\sqrt {4.3} = 8 + 2.\sqrt 4 .\sqrt 3\cr &= 8 + 4\sqrt 3 \cr}\]
Vì \[7 + 4\sqrt 3 < 8 + 4\sqrt 3 \] nên \[{\left[ {\sqrt 3 + 2} \right]^2} < {\left[ {\sqrt 2 + \sqrt 6 } \right]^2}\]
Vậy \[\sqrt 3 + 2\] < \[\sqrt 2 + \sqrt 6 \]
LG câu c
16 và \[\sqrt {15} .\sqrt {17} \];
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất: Với \[a > 0,b > 0\] và \[{a^2} < {b^2}\]thì\[a < b\]
Để chứng minh\[a < b\] [ với\[a > 0,b > 0\]] ta chứng minh\[{a^2} < {b^2}\].
Chú ý:\[{\left[ {\sqrt A } \right]^2} = A\][ với\[A > 0\]].
Lời giải chi tiết:
\[16\] và \[\sqrt {15} .\sqrt {17} \]
Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {15} .\sqrt {17} = \sqrt {16 - 1} .\sqrt {16 + 1} \cr
& = \sqrt {[16 - 1][16 + 1]} = \sqrt {{{16}^2} - 1} \cr} \]
Và \[16 = \sqrt {{{16}^2}} \]
Vì \[\sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} \] nên \[16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \]
Vậy \[16 > \sqrt {15} .\sqrt {17} \].
LG câu d
8 và \[\sqrt {15} + \sqrt {17} \].
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất: Với \[a > 0,b > 0\] và \[{a^2} < {b^2}\]thì\[a < b\]
Để chứng minh\[a < b\] [ với\[a > 0,b > 0\]] ta chứng minh\[{a^2} < {b^2}\].
Chú ý:\[{\left[ {\sqrt A } \right]^2} = A\][ với\[A > 0\]].
Áp dụng hằng đẳng thức:
\[{[a + b]^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]
Lời giải chi tiết:
\[8\] và \[\sqrt {15} + \sqrt {17} \]
Ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right]^2} = 15 + 2\sqrt {15.17} + 17 \cr
& = 32 + 2\sqrt {15.17} \cr} \]
Và\[{8^2} = 64 = 32 + 32\]
So sánh \[16\] và \[\sqrt {15.17} \]
Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {15.17} = \sqrt {[16 - 1][16 + 1]} \cr
& = \sqrt {{{16}^2} - 1} < \sqrt {{{16}^2}} \cr} \]
Hay \[16 > \sqrt {15.17} \]
Vì \[16 > \sqrt {15.17} \] nên \[32 > 2\sqrt {15.17} \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& 64 > 32 + 2.\sqrt {15.17} \cr
& \Rightarrow {8^2} > {\left[ {\sqrt {15} + \sqrt {17} } \right]^2} \cr} \]
Vậy \[8 > \sqrt {15} + \sqrt {17} \].