Bài 1.37 trang 14 sbt đại số và giải tích 11 nâng cao
\(\begin{array}{l}2.\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\2{\tan ^3}x + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow 2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3\tan x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x - 1 = 0\\{\tan ^2}x + \tan x + 4 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Giải các phương trình sau: LG a \(2{\sin ^3}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x\) Lời giải chi tiết: Những giá trị của \(x\) mà \(\cos x = 0\) thì \(\sin x = \pm 1\) nên không có nghiệm của phương trình đã cho . Với \(\cos x \ne 0\) , chia hai vế của nó cho \({\cos ^3}x\) , ta được \(\begin{array}{l} LG b \(3{\sin ^2}{x \over 2}\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \) \(= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi \over 2}} \right)\cos {x \over 2}\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\) \(\sin \left( {{\pi \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\) Phương trình đã cho trở thành: \(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2}\)\( - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\) Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình \(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\) \(\begin{array}{l} \( \Leftrightarrow \) \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0\) \(\begin{array}{l} Vậy phương trình có nghiệm \(x = - {\pi \over 2} + 2k\pi \) và \(x = \pm {\pi \over 3} + 2k\pi \).
|