Bài tập 5 sgk trang 10 toán giải tích 12 năm 2024
|
Giải bài 5 Trang 10 SGK toán Giải tích lớp 12, phần bài tập Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Show Đề bài 5 Trang 10 SGK Toán Giải tích lớp 12: Lời giải câu 5 Trang 10 SGK Toán Giải tích lớp 12: (HTTPS://BAIVIET.ORG) Toán lớp 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm sốBài 5 (trang 10 SGK Giải tích 12): Chứng minh các bất đẳng thức sau: Lời giải:
Ta có: y’ = \> 0 với ∀ x ∈ R. ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2) ⇒ f(x) > f(0) = 0 với ∀ x > 0 hay tan x – x > 0 với ∀ x ∈ (0; π/2) ⇔ tan x > x với ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm).
Theo kết quả câu a): tanx > x ∀ x ∈ ⇒ g'(x) > 0 ∀ x ∈ ⇒ y = g'(x) đồng biến trên ⇒ g(x) > g(0) = 0 với ∀ x ∈ Kiến thức áp dụng + Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K xác định: Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. + Lưu ý: Dấu của f’(x) trong một khoảng trên bảng biến thiên chính là dấu của f’(x) tại một điểm x0 bất kì trong khoảng đó. Do đó, ta chỉ cần lấy một điểm x0 bất kì trong khoảng đó rồi xét xem f’(x0) dương hay âm. Bước 4: Kết luận về khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Quảng cáo Tham khảo lời giải các bài tập Toán 12 bài 1 khác:
Các bài giải Toán 12 Giải tích Tập 1 Chương 1 khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Với dạng bài tập ở bài 5 chứng minh \(g(x)>h(x)\) với x thuộc một miền cho trước ta thường tiến hành như sau: Bước 1: \(g(x)>h(x)\Leftrightarrow g(x)-h(x)>0.\) Bước 2: Đặt \(f(x)=h(x)-g(x)\), khảo sát tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\). Bước 3: Tìm x để \(f(x)=0\) (thường là hai đầu mút của miền đang xét). Bước 4: Từ tính đơn điệu của hàm số \(f(x)\) đưa ra kết luận cho bài toán. Lời giải:Ta áp dụng các bước trên để giải câu a, b bài 5: Câu a: Để chứng minh \(tanx >x\) với mọi \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta chứng minh tanx - x > 0 với mọi \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) Trước tiên ta cần kiểm tra xem có tồn tại giá trị nào của x đề tanx-x=0 hay không, mà trước hết ta cần thử với hai giá trị là x=0 và \(x=\frac{\pi}{2}.\) Dễ thấy: \(tan(0)-0=0.\) Khi đó ta tiến hành mở rộng khoảng đang xét thành nửa khoảng, cụ thể lời giải chi tiết như sau: Xét hàm số f(x)= tanx–x liên tục trên nửa khoảng \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\) \(f'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\). \(f'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên \(\left [0;\frac{\pi}{2} \right )\). Vậy với \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta có \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow tanx > x\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\). Câu b: Chứng minh \(\tan x > x +\frac{x^3}{3} (0 < x < \frac{\pi }{2})\) Tương tự câu a. Xét hàm số \(g(x) = \tan x - x - \frac{{{x^3}}}{3}\) liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) có đạo hàm: \(g'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 - {x^2} = {\tan ^2}x - {x^2}\) \(= (tanx - x)(tanx + x) > 0,\,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) (Theo câu a) \(g'(x)=0\Leftrightarrow x=0.\) Bảng biến thiên: .png) Vậy hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Vậy với \(0 < x < \frac{\pi }{2}\) ta có \(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) \Rightarrow tanx > x + \frac{{{x^3}}}{3}\) với mọi \(x\in\left ( 0;\frac{\pi}{2} \right )\). Nhận xét:Với dạng bài tập chứng minh f(x)>0 với x thuộc khoảng (a;b). Nếu f(a) và f(b) đề khác không, hoặc f(x) không xác định tại a và b. Thì f(x)=0 tại x0, với x0 là nghiệm của phương trình f'(x)=0, ta không cần mở rộng khoảng đang xét. |
