Đề bài
Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 50 cm. Hãy cắt đi ở bốn góc vuông những hình vuông bằng nhau để khi gập lại theo mép cắt thì được một cái hộp [không nắp] có thể tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Gọi cạnh hình vuông được cắt là \[9x\] [\[0 < x < 25\], đơn vị : xentimét]
Thể tích V của cái hộp là
\[V = x\left[ {80 - 2{x}} \right]\left[ {50 - 2{x}} \right]\]
Khi đó ta có
\[\begin{array}{l}12V = 6{x}\left[ {80 - 2{x}} \right]\left[ {100 - 4{x}} \right]\\ \le {\left[ {\dfrac{{6{x} + 80 - 2{x} + 100 - 4{x}}}{3}} \right]^3} = {60^{3.}}\end{array}\]
Suy ra \[V \le \dfrac{{{{60}^3}}}{{12}}\] hay \[V \le 18\,000\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[6x = 80 2x = 100 4x\] tức là \[x = 10.\]
Giá trị lớn nhất của V là 18000 cm3khi \[x = 10 [cm]\]
Vậy phải cắt đi ở bốn góc vuông của hình chữ nhật ban đầu những hình vuông có cạnh 10 cm.
Nhận xét. Nếu xét \[4V = 4{x}\left[ {80 - 2{x}} \right]\left[ {50 - 2{x}} \right]\] thì 4V là tích của ba thừa số có tổng không đổi [bằng 130], ta vẫn có bất đẳng thức \[4V \le {\left[ {\dfrac{{130}}{3}} \right]^3}\] nhưng đẳng thức không thể xảy ra và không có giá trị nào của x thỏa mãn
\[80 - 2{x} = 50 - 2{x}\]