- LG a
- LG b
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
LG a
\[f[x] = |x + {1 \over x}|\]
Phương pháp giải:
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương \[a + b \ge 2\sqrt {ab} \]
Lời giải chi tiết:
Vì với mọi x 0; x và \[{1 \over x}\] cùng dấu nên:
\[f[x] = |x + {1 \over x}| = |x| + {1 \over {|x|}} \]
Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương \[|x|, {1 \over {|x|}}\] ta có:
\[|x| + {1 \over {|x|}} \ge 2\sqrt {|x|.{1 \over {|x|}}} = 2\] với mọi x 0 hay \[f[x]\ge 2\]với mọi x 0.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \[|x| = {1 \over {|x|}} \Leftrightarrow x^2 = 1\] \[\Leftrightarrow x = \pm 1\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của f[x] là 2.
LG b
\[g[x] = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\]
Phương pháp giải:
Thu gọn g[x] rồi áp dụng BĐT Cô - si.
Lời giải chi tiết:
Với mọi x R, ta có:
\[ g[x] = {{{x^2} + 1} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \]
\[= \sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\]
Áp dụng BĐT cho hai số dương \[\sqrt {{x^2} + 1} , {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\] ta có:
\[\sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\] \[ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .{1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}}=2\]
\[g[x] = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} = {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \]
\[\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của g[x] là 2.