Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB bằng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho \[MB = 2MA.\]
Lời giải chi tiết
Giả sử: \[A\left[ {{x_0};0} \right];B\left[ {0;{y_0}} \right]\]
\[AB = a \Leftrightarrow \sqrt {x_0^2 + y_0^2} = a \Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 = {a^2}\]
M thuộc đoạn AB và \[MB = 2MA\]nên \[\overrightarrow {AM} = {1 \over 3}\overrightarrow {AB} \]
Giả sử: M[x, y] , khi đó: \[\overrightarrow {AM} = \left[ {x - {x_0};y} \right],\overrightarrow {AB} = \left[ { - {x_0};{y_0}} \right];\]
\[3\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} .\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3\left[ {x - {x_0}} \right] = - {x_0} \hfill \cr
3y = {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} = {3 \over 2}x \hfill \cr
{y_0} = 3y \hfill \cr} \right. \cr
& x_0^2 + y_0^2 = {a^2} \Leftrightarrow {9 \over 4}{x^2} + 9{y^2} = {a^2} \cr&\Leftrightarrow {{{x^2}} \over {{{\left[ {{{2a} \over 3}} \right]}^2}}} + {{{y^2}} \over {{{\left[ {{a \over 3}} \right]}^2}}} = 1 \cr} \]
Vậy tập hợp điểm M là elip có phương trình là:
\[{{{x^2}} \over {{{\left[ {{{2a} \over 3}} \right]}^2}}} + {{{y^2}} \over {{{\left[ {{a \over 3}} \right]}^2}}} = 1.\]