- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:
LG a
\[\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \cos {75^0}\cos {15^0} \cr & = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {{{75}^0} + {{15}^0}} \right] + \cos \left[ {{{75}^0} - {{15}^0}} \right]} \right]\cr &= {1 \over 2}[\cos {90^0} + \cos {60^0}]\cr &= \frac{1}{2}\left[ {0 + \frac{1}{2}} \right] = {1 \over 4} \cr
& \sin {75^0}\sin {15^0} \cr &= - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {{{75}^0} + {{15}^0}} \right] - \cos \left[ {{{75}^0} - {{15}^0}} \right]} \right]\cr &= {1 \over 2}[cos{60^0} - \cos {90^0}] \cr & = \frac{1}{2}\left[ { \frac{1}{2}}-0 \right]= {1 \over 4} \cr} \]
Vậy\[\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\]
LG b
\[\cos {75^0}\sin {15^0} = {{2 - \sqrt 3 } \over 4}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \cos {75^0}\sin {15^0} \cr & = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {{{15}^0} + {{75}^0}} \right] + \sin \left[ {{{15}^0} - {{75}^0}} \right]} \right] \cr &= \frac{1}{2}\left[ {\sin {{90}^0} + \sin \left[ { - {{60}^0}} \right]} \right]\cr &= {1 \over 2}[\sin {90^0} - \sin {60^0}] \cr
& = {1 \over 2}[1 - {{\sqrt 3 } \over 2}] = {{2 - \sqrt 3 } \over 4} \cr} \]
LG c
\[\sin {75^0}\cos {15^0} = {{2 + \sqrt 3 } \over 4}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \sin {75^0}\cos {15^0} \cr & = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {{{75}^0} + {{15}^0}} \right] + \sin \left[ {{{75}^0} - {{15}^0}} \right]} \right]\cr &= {1 \over 2}[\sin {90^0} + \sin {60^0}] \cr
& = {1 \over 2}[1 + {{\sqrt 3 } \over 2}] = {{2 + \sqrt 3 } \over 4} \cr} \]
LG d
\[\cos \alpha \sin [\beta - \gamma ] + \cos \beta \sin [\gamma - \alpha ] \]
\[+ \cos \gamma \sin [\alpha - \beta ] = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \cos \alpha \sin [\beta - \gamma ]\cr& = {1 \over 2}{\rm{[sin[}}\alpha {\rm{ + }}\beta - \gamma {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{ + }}\gamma {\rm{]]}} \cr
& \cos \beta \sin [\gamma - \alpha ] \cr&= {1 \over 2}{\rm{[}}\sin [\beta + \gamma - \alpha {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\beta - \gamma + \alpha ]{\rm{]}} \cr
& \cos \gamma \sin [\alpha - \beta ] \cr&= {1 \over 2}{\rm{[sin[}}\gamma {\rm{ + }}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{]}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin[}}\gamma {\rm{ - }}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{]]}} \cr} \]
Cộng các vế của ba đẳng thức, ta có:
\[\cos \alpha \sin [\beta - \gamma ] + \cos \beta \sin [\gamma - \alpha ] \]
\[+ \cos \gamma \sin [\alpha - \beta ] = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \]