Xét tam giác vuông ABC với \[\widehat A = \dfrac{\pi }{2},\widehat B = \alpha .\] Kẻ đường trung trực của đoạn BC cắt AB tại I. Dễ thấy: \[\cos 2\alpha = \dfrac{{AI}}{{IC}};\cos \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}}\] [h. 6.6]; từ đó hãy suy ra
Đề bài
Chứng minh công thức \[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\][với \[0 < \alpha < \dfrac{\pi }{4}\]] bằng phương pháp hình học như sau:
Xét tam giác vuông ABC với \[\widehat A = \dfrac{\pi }{2},\widehat B = \alpha .\] Kẻ đường trung trực của đoạn BC cắt AB tại I. Dễ thấy: \[\cos 2\alpha = \dfrac{{AI}}{{IC}};\cos \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}}\] [h. 6.6]; từ đó hãy suy ra
\[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\].
Lời giải chi tiết
Dễ thấy \[BI = IC,\]
nên
\[\begin{array}{l}\cos 2\alpha = \dfrac{{AI}}{{IC}} = \dfrac{{AI}}{{BI}} = \dfrac{{AB - BI}}{{BI}}\\ = \dfrac{{AB}}{{BI}} - 1 = \dfrac{{AB}}{{BC}}.\dfrac{{2BM}}{{BI}} - 1\end{array}\]
Mà
\[\cos \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{BM}}{{BI}}\], nên \[\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\].