Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang \[\left[ {AD//BC,\,AD > BC} \right].\] Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, CD, SA.
a] Chứng minh rằng:
\[MN//\left[ {SBC} \right];\,\left[ {MEN} \right]//\left[ {SBC} \right].\]
b] Trong tam giác SAD vẽ EF//AD \[\left[ {F \in SD} \right].\] Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt phẳng [MNE] với SD. Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp[MNE] là hình gì?
c] Chứng minh rằng SC//[MNE]. Đường thẳng AF có song song với mp[SBC] hay không?
d] Cho M, N là hai điểm cố định lần lượt nằm trên các cạnh AB, CD sao cho MN//AD và E, F là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh SA, SD sao cho EF//AD. Gọi I là giao điểm của ME và NF thì I di động trên đường nào?
Lời giải chi tiết
a] MN là đường trung bình của hình thang ABCD, suy ra:
\[\eqalign{
& \left. \matrix{
MN//BC \hfill \cr
BC \subset \left[ {SBC} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow MN//\left[ {SBC} \right] \cr
& \left. \matrix{
MN//\left[ {SBC} \right] \hfill \cr
ME//\left[ {SBC} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left[ {MEN} \right]//\left[ {SBC} \right] \cr} \]
b] Ta có
\[\eqalign{
& EF//AD \Rightarrow EF//MN \cr
& \Rightarrow EF \subset \left[ {MNE} \right] \Rightarrow F \in \left[ {MNE} \right]. \cr} \]
Mặt khác \[F \in SD,\] do đó \[F = \left[ {MNE} \right] \cap SD.\]
Thiết diện là hình thang MNFE.
c]Theo câu a], ta có \[\left[ {SBC} \right]//\left[ {MNE} \right]\] mặt khác \[SC \subset \left[ {SBC} \right]\]
Suy ra SC // [MNE].
Đường thẳng AF không song song với mp[SBC] vì nếu AF // [SBC] thì :
\[AF \subset \left[ {MNE} \right] \Rightarrow A \in \left[ {MNE} \right]\] [vô lí].
d]Xét ba mặt phẳng [SAB], [SCD] và [MNE]. Ta có:
\[\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right] = SJ\] [J là giao điểm của AB và CD]
\[\eqalign{
& \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {MNE} \right] = ME \cr
& \left[ {SCD} \right] \cap \left[ {MNE} \right] = NF \cr} \]
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SJ, ME, NF đồng quy. Vậy điểm I phải di động trên đường thẳng SJ [trừ những điểm trong của đoạn SJ].