- LG câu a
- LG câu b
LG câu a
Chứng minh:
\[ \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4}\]
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức \[[a+b]^2=a^2+2ab+b^2\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[ \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\]
\[ \displaystyle\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left[ {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4} \cr
& = {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4} \cr} \]
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.
LG câu b
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[{x^2} + x\sqrt 3 + 1\].Giá trị đó đạt được khi \[x\] bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải:
- Thực hiện tách biểu thức đưa về dạng:
\[{[a + b]^2 +m} \]
- Biện luận tìm giá trị nhỏ nhất:
\[{[a + b]^2} \ge 0\]
\[\Rightarrow {[a + b]^2} + m \ge m\]. Dấu "=" xảy ra khi \[a+b=0\].
Lời giải chi tiết:
Theo câu a] ta có:
\[ \displaystyle{x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4}\]
Vì \[ \displaystyle{\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} \ge 0\] với mọi \[x\] nên \[ \displaystyle{\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\]
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ \displaystyle{\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + {1 \over 4}\] bằng \[ \displaystyle{1 \over 4}\] khi \[ \displaystyle{\left[ {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} = 0\]
Suy ra \[ \displaystyle x = - {{\sqrt 3 } \over 2}.\]