Đề bài
Tam giác \[ABC\] có ba đường trung tuyến cắt nhau tại \[O.\] Gọi \[P, Q, R\] thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \[OA, OB, OC.\]
Chứng minh rằng tam giác \[PQR\] đồng dạng với tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
-Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Tính chất: Đường trung bình tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Xét \[ OAB\] có \[PQ\] là đường trung bình nên \[\displaystyle PQ = {1 \over 2}AB\] [tính chất đường trung bình của tam giác].
\[ \Rightarrow \displaystyle{{PQ} \over {AB}} = {1 \over 2}\] [1]
Xét \[ OAC\] có \[PR\] là đường trung bình nên \[\displaystyle PR = {1 \over 2}AC\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
\[ \Rightarrow\displaystyle{{PR} \over {AC}} = {1 \over 2}\] [2]
Xét \[ OBC\] có \[QR\] là đường trung bình nên \[\displaystyleQR = {1 \over 2}BC\] [tính chất đường trung bình của tam giác ]
\[ \Rightarrow\displaystyle{{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\displaystyle{{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}}= {1 \over 2}\]
Vậy \[ PQR\] đồng dạng \[ ABC\] [c.c.c].