Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
b. Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì ? Vì sao ?
c. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A
d. Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức :
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
- Tính chất về các cạnh và góc của hình thoi; hình vuông.
Lời giải chi tiết
a. Điểm M và điểm D đối xứng qua trục AB
AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD
AB DM
\[\widehat {AED} = {90^0}\]
Điểm D và điểm N đối xứng nhau qua trục AC AC là đường trung trực của đoạn thẳng DN
AC DN \[ \Rightarrow \widehat {AFD} = {90^0}\]
Mà \[\widehat {EAF} = {90^0}\] [gt]
Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật [vì có ba góc vuông]
b. Tứ giác AEDF là hình chữ nhật
DE // AC; DF // AB
Trong ABC ta có: DB = DC [gt]
Mà DE // AC
Suy ra: AE = EB [tính chất đường trung bình tam giác]
Lại có DF// AB và DB=DC
Suy ra: AF = FC [tính chất đường trung bình của tam giác]
Xét tứ giác ADBM : AE = EB [chứng minh trên]
ED = EM [vì AB là trung trực của DM]
Suy ra: Tứ giác ADBM là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường]
Mặt khác: AB DM
Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi [ vì có hai đường chéo vuông góc]
Xét tứ giác ADCN:
AF = FC [chứng minh trên]
DF = FN [vì AC là đường trung trực của DN]
Suy ra: Tứ giác ADCN là hình bình hành [vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường]
Mà AC DN
Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi [vì có hai đường chéo vuông góc]
c. Tứ giác ADBM là hình thoi
AM // DB và AM = AD [tính chất]
Hay AM // BC và AM = AD [1]
Tứ giác ADCN là hình thoi
AN // DC và AD = AN [tính chất]
Hay AN // BC và AN = AD [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AM trùng với AN hay M, A, N thẳng hàng
Và AM = AN nên A là trung điểm của MN
Vậy điểm M và điểm N đối xứng với nhau qua điểm A
d. Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF
Ta có: AE = \[\displaystyle {1 \over 2}\]AB ; AF =\[\displaystyle {1 \over 2}\]AC
Nên AE = AF AB = AC
Vậy nếu ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông.