Đề bài
Cho đường tròn \[[O ; R],\] điểm \[A\] nằm bên ngoài đường tròn \[[R < OA < 3R].\] Vẽ đường tròn \[[A ; 2R].\]
\[a]\] Hai đường tròn \[[O]\] và \[[A]\] có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau\[?\]
\[b]\] Gọi \[B\] là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính \[BOC\] của đường tròn \[[O].\] Gọi \[D\] là giao điểm [ khác \[C\]] của \[AC\] và đường tròn \[[O]\]. Chứng minh rằng \[AD = DC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Nếu\[R r < OO'< R + r\]thì đường tròn \[[O]\] và đường tròn \[[O']\] cắt nhau.
+] Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, trung tuyến, trung trực.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Ta có: \[R < OA < 3R \]\[ 2R- R < OA < 2R + R\]
Suy ra hai đường tròn \[[O; R]\] và \[[A; 2R]\] cắt nhau.
\[b]\] Tam giác \[BCD\] nội tiếp trong đường tròn \[[O]\] có \[BC\] là đường kính nên \[\widehat {BDC} = 90^\circ \]
Suy ra: \[BD AC\]
Ta có: \[AB = 2R\] và \[BC = 2OB = 2R\]
Suy ra tam giác \[ABC\] cân tại \[B\;\; \]
Vì tam giác ABC cân tại B có BD là đường cao [do\[BD AC\]] nên BD cũng là đường trung tuyến.
Suy ra: \[AD = DC.\]