Đề bài
Tứ giác \[ABCD \] có hai góc vuông tại đỉnh \[A\] và \[C,\] hai đường chéo \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[O,\] \[\widehat {BAO} = \widehat {BDC}\] [h.37]
Chứng minh:
a] \[ ABO\] đồng dạng \[ DCO\].
b] \[ BCO\] đồng dạng \[ ADO\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Lời giải chi tiết
a] \[\widehat {BAO} = \widehat {BDC}\] [gt] hay \[\widehat {BAO} = \widehat {ODC}\]
Xét \[ ABO\] và \[ DCO\] có:
+] \[\widehat {BAO} = \widehat {ODC}\] [chứng minh trên]
+] \[\widehat {AOB} = \widehat {DOC}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow ABO\] đồng dạng \[ DCO\] [g.g]
b] Vì \[ ABO\] đồng dạng \[ DCO\] nên \[{\widehat B_1} = {\widehat C_1}\] [1]
Mà \[{\widehat C_1} + {\widehat C_2} = \widehat {BCD} = 90^\circ \] [2]
Xét tam giác \[ABD\] có \[\widehat A = 90^\circ \] nên \[{\widehat B_1} + {\widehat D_2} = 90^\circ \] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[{\widehat C_2} = {\widehat D_2}\]
Xét \[ BCO\] và \[ ADO\] có:
\[{\widehat C_2} = {\widehat D_2}\] [chứng minh trên ]
\[\widehat {BOC} = \widehat {AOD}\] [đối đỉnh]
\[ \Rightarrow BCO\] đồng dạng \[ ADO\] [g.g].