Bài tập nâng cao về bất đẳng thức côsi năm 2024

Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro

CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam

Lớp học

• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12

Tài khoản

• Gói cơ bản
• Tài khoản Ôn Luyện
• Tài khoản Tranh hạng
• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Thông tin liên hệ

(+84) 096.960.2660

• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Follow us

Tài liệu gồm 91 trang, được trích từ cuốn sách Những Kỹ Năng Giải Toán Đặc Sắc Bất Đẳng Thức của các tác giả: Nguyễn Công Lợi, Đào Quốc Chung, Đào Quốc Dũng, Phạm Kim Chung (diễn đàn Toán THPT K2PI), hướng dẫn áp dụng bất đẳng thức Cô-si (BĐT Cauchy, BĐT AM – GM, BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân) chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất).

Khái quát nội dung tài liệu áp dụng bất đẳng thức Cô-si chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN:

1. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi). 2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy.
2. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải. 2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng. Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra. 3. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy. Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “Ghép cặp” để bài toán trở nên đơn giản. [ads] 4. Kỹ thuật thêm bớt. Nếu ở các kỹ thuật trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngoài của một bài toán. Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đột phá ý tưởng. Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố bên ngoài” trong việc giải quyết vấn đề. 5. Kỹ thuật Cauchy ngược dấu. Trong quá trình tìm lời giải cho một bài toán bất đẳng thức, một sai lầm thường gặp đó là sau một loạt các đánh giá ta thu được một bất đẳng thức ngược chiều. Điều này làm không ít người cảm thấy nản lòng. Lúc này nếu ta bình tĩnh suy nghĩ một chút thì thấy với đánh giá ngược chiều bằng cách nào đó ta thêm vào trước một dấu âm thì lập tức đánh giá đó sẽ cùng chiều. Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bớt, thậm chí có phần khéo léo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó. 6. Kỹ thuật đổi biến số. Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn”. Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.

• Bất Đẳng Thức Và Cực Trị

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Với Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki môn Toán lớp 8 phần Đại số sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cô-si, Bunhiacopxki

Dạng bài: Sử dụng bất đẳng thức Cô – si, bất đẳng thức Bunhiacopxki

1. Phương pháp giải

1. Bất đẳng thức Cô – si

Cho hai số không âm a, b, ta luôn có:

, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.

Mở rộng:

1. Với các số a, b, c không âm, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

2. Với n số không âm, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho a1, a2, b1, b2 là những số thực, ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

Mở rộng: Với các số thực a1, a2, b1, b2, a3, b3, ta luôn có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi

2. Ví dụ minh họa

Câu 1: Cho a,b>0. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

• Cho cặp số a, b, ta được:

• Cho cặp số , ta được:

Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:

Dấu bằng xảy ra khi:

Câu 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:

Giải.

Ta có:

Dấu đẳng thức xảy ra khi:

Câu 3: Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý ta luôn có:

Lời giải:

Ta có:

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta đi đến:

3. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho 3 số dương x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng:

Câu 2: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: xyz=1. Chứng minh rằng:

Câu 3: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:

Câu 4: Cho . Chứng minh rằng:

Câu 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y luôn có:

Câu 6: Hai số x, y thỏa mãn . Chứng minh rằng

Câu 7: Cho các số không âm a, y thỏa mãn . Chứng minh rằng:

4. Bài tập bổ sung

Bài 1. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. Chứng minh rẳng:

xx+2yz+yy+2xz+zz+2xy≥1

Bài 2. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rẳng:

x3x+2y+y3y+2z+z3z+2x≥x2+y2+z23

Bài 3. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:

x3(2x2+y2)(2x2+z2)+y3(2y2+z2)(2y2+x2)+z3(2z2+x2)(2z2+y2)≤1x+y+z

Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:

2xyz(x+y+z)≤59+x4y2+y4z2+z4x2

Bài 5. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh:

1x2+xy+yz+1y2+yz+zx+1z2+zx+xy≤(x+y+zxy+yz+zx)2

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (hay, chi tiết)
• Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
• Cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng
• Chứng minh bất đẳng thức bằng giá trị tuyệt đối
• Tổng hợp các cách chứng minh bất đẳng thức (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án
• Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.