Bài tập toán lớp 12 bài 1 trang 43 năm 2024

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

1. y = 2 + 3x - x3;

2. y = x3+ 4x2+ 4x

3. y = x3+ x2+ 9x ;

4. y = -2x3+ 5

Lời giải:

Hướng dẫn:

Các bước khảo sát hàm số và vẽ đồ thị:

1, Tìm tập xác định.

2, Khảo sát sự biến thiên

+ Tính y’

⇒ Chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tính các giới hạn

Từ đó suy ra Bảng biến thiên.

3, Vẽ đồ thị hàm số.

1. Hàm số y = -x3+ 3x + 2.

1. Tập xác định: D = R

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -3x2 + 3.

y' = 0 ⇔ x = ±1.

Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên (-1 ; 1), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 4 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 ; yCT = 0.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có : 2 + 3x – x3 = 0 ⇔

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (2; 0) và (-1; 0).

y(0) = 2 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

Đồ thị hàm số :

2. Hàm số y = x3+ 4x2+ 4x.

1. Tập xác định: D = R

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x2 + 8x + 4.

Trên các khoảng (-∞; -2) và (

; +∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên (-2 ;

), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = -2, yCĐ = 0 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x =

; yCT =

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+ Ta có : x3 + 4x2 + 4x = 0 ⇔ x(x + 2)2 = 0 ⇔

Vậy giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0; 0) và (-2; 0).

+ y(0) = 0 ⇒ giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0; 2).

+ y(-3) = -3 ⇒ (-3; -3) thuộc đồ thị hàm số

y(-1) = -1 ⇒ (-1; -1) thuộc đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số :

3. Hàm số y = x3+ x2+ 9x.

1. Tập xác định: D = R

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = 3x2 + 2x + 9 > 0 ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R.

+ Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị hàm số.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại (0 ; 0).

+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 11) ; (-1; -9)

4. Hàm số y = -2x3+ 5.

1. Tập xác định: D = R

2. Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y' = -6x2 ≤ 0 ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên R.

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 5).

+ Đồ thị hàm số đi qua (1; 3) và (-1; 7).

• Giải Toán 12: Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số