Bài tập tổng và hiệu của hai vectơ năm 2024

Tài liệu gồm 18 trang với nội dung gồm tóm tắt lý thuyết, phân dạng, bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luận về chuyên đề vector, tổng và hiệu của 2 vector. Các dạng toán bao gồm:

Bài 1 – Các định nghĩa

1. Tóm tắt lý thuyết

   1. Định nghĩa vectơ 2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng 3. Hai vectơ bằng nhau

   2. Các dạng toán và phương pháp giải Dạng 1: Xác định một vectơ; phương, hướng của vectơ; độ dài của vectơ + Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ theo định nghĩa + Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ dài của một vectơ Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau + Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ dài và cùng hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì vtAB = vtDC và vtAD = vtBC [ads]
   3. Bài tập tự luận Bài 2 – Tổng và hiệu hai vectơ
   4. Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng hai vectơ 2. Hiệu hai vectơ 3. Các quy tắc
   5. Các dạng toán và phương pháp giải Dạng 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ + Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó + Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ + Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: Vế này thành vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt ba quy tắc tính vectơ + Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích, chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản hơn Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ
   6. Bài tập tự luận

• Vectơ

Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]

Thầy cô giáo và các em học sinh có nhu cầu tải các tài liệu dưới dạng định dạng word có thể liên hệ đăng kí thành viên Vip của Website: tailieumontoan.com với giá 500 nghìn thời hạn tải trong vòng 6 tháng hoặc 800 nghìn trong thời hạn tải 1 năm. Chi tiết các thức thực hiện liên hệ qua số điện thoại (zalo ): 0393.732.038

Điện thoại: 039.373.2038 (zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ)

Kênh Youtube: https://bitly.com.vn/7tq8dm

Email: [email protected]

Group Tài liệu toán đặc sắc: https://bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: https://bit.ly/2VbEOwC

Website: http://tailieumontoan.com

Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm tổng và hiệu của hai vecto đầy đủ các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết

Xem lời giải

Tổng và hiệu của hai vectơ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán 10. Các em học sinh cần nắm rõ kiến thức để không bị mất điểm ở phần này. Trong bài viết dưới đây, Vuihoc.vn sẽ giới thiệu lý thuyết, các dạng bài tập tổng và hiệu của hai vectơ thường gặp để các em tham khảo. Chúc các em học tốt!

1. Tổng và hiệu của hai vectơ

1.1. Tổng của hai vectơ

1.1.1. Định nghĩa tổng và hiệu của hai vectơ

1.1.1.1. Định nghĩa tổng của hai vectơ

Ví dụ minh họa sau đây:

Hình trên đây là mô tả cách cộng hai vectơ:

• Để cộng hai vectơ, đầu tiên ta cần xác định ngọn của một vectơ, rồi từ đó ta dựng giá của vectơ thứ hai đi qua ngọn của vectơ đầu tiên.
• Tiếp theo, ta sử dụng tính chất của hai vectơ bằng nhau để chập ngọn của vectơ thứ nhất với gốc của vectơ thứ hai.

Định nghĩa tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$. Lấy một điểm A, vẽ $\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{BC}=\vec{b}$, vectơ $\vec{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a},\vec{b}$ (hay $\vec{AB},\vec{BC}$) => $\vec{AC}=\vec{a}+\vec{b}$

Ví dụ : Cho hình vuông ABCD hãy tính:

1. $\vec{AB}+\vec{BC}$
2. $\vec{AB}+\vec{CD}$
3. $\vec{AB}+\vec{DC}$

Lời giải:

1. $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$
2. $\vec{AB}+\vec{CD}=\vec{AB}+\vec{BA}=\vec{AA}=\vec{0}$ c, Dựng $\vec{BE}=\vec{DC}$ thì B là trung điểm AE. Khi đó, $\vec{AB}+\vec{DC}=\vec{AB}+\vec{BE}=\vec{AE}$

1.1.1.2. Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho 2 vectơ $\vec{a},\vec{b}$. Vectơ hiệu của hai vectơ, kí hiệu $\vec{a}-\vec{b}$ là vectơ $\vec{a}+(-\vec{b})$.

\=> $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, gọi O là tâm hình chữ nhật. Tính các hiệu:

1. $\vec{CB}-\vec{AB}$
2. $\vec{AD}-\vec{AB}$
3. $\vec{CO}-\vec{DO}$

Lời giải:

a, $\vec{CB}-\vec{AB}=\vec{CB}+(-\vec{AB})=\vec{CB}+\vec{BA}=\vec{CA}$

b, Áp dụng quy tắc ba điểm A,D,B có: $\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{BD}$

c, $\vec{CO}-\vec{DO}=\vec{CO}+(-\vec{DO})=\vec{CO}+\vec{OD}=\vec{CD}$

1.1.2. Tính chất của tổng các vectơ

Với các vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ tùy chọn ta có:

• Tính chất giao hoán: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
• Tính chất kết hợp: $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$
• Tính chất của $\vec{0}$: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$

1.1.3. Quy tắc hình bình hành

1.1.3.1. Quy tắc

Với tứ giác ABCD là hình bình hành thì $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

1.1.3.2. Ví dụ

VD1: Chóp S.ABCD ( đáy ABCD là hình bình hành). Chứng minh: $\vec{SA}+\vec{SC}=\vec{SB}+\vec{SD}$

Lời giải:

VD2: Cho hình bình hành ABCD tâm I. Khẳng định nào sau đây là sai?

Ví dụ về quy tắc hình bình hành - tổng và hiệu của hai vectơ

1. $\vec{IA}+\vec{IC}=0$ 2. $\vec{AB}=\vec{DC}$ 3. $\vec{AC}=\vec{BD}$ 4. $\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$

Lời giải:

VD3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH với I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H lên AB và AC. Khẳng định nào sau đây là sai?

1. $\vec{AH}=\vec{AI}+\vec{AK}$ 2. $\vec{AH}=\vec{KH}+\vec{AK}$ 3. $\vec{AH}=\vec{IH}+\vec{AI}$ 4. $\vec{AH}=\vec{AB}+\vec{AK}$

Lời giải:

VD4: Cho hình bình hành ABCD (E là TĐ của AD, F là TĐ BC). Khẳng định sai là?

1. $\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{BC}$ 2. $\vec{BD}=\vec{BE}+\vec{BF}$ 3. $\vec{BD}=\vec{AC}$ 4. $\vec{BD}=\vec{CD}+\vec{AD}$

Lời giải:

1.2. Hiệu của hai vectơ

1.2.1. Vectơ đối

• Vectơ đối có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của vectơ $\vec{a}$, kí hiệu $-\vec{a}$.
• Vectơ đối của $\vec{0}$ là vectơ $\vec{0}$.

1.2.2. Hiệu của hai vectơ

Ví dụ minh họa sau đây:

Cũng giống với phương pháp cộng ở trên, ta tính hiệu hai vectơ bằng cách cộng với vectơ đối.

Có quy tắc hiệu vectơ như sau: $\vec{AB}$ là một vectơ đã cho và 1 điểm O bất kỳ thì ta luôn có:

$\vec{AB}=\vec{OB}+\vec{OA}$

VD1: Cho 4 điểm A,B,C,D phân biệt. Chứng minh rằng: $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DC}-\vec{BC}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DB}$ (1) (áp dụng quy tắc về hiệu hai vectơ)

Lại có: $\vec{DC}-\vec{BC}=\vec{DC}+(\vec{-BC})$ (vectơ đối)

$\vec{DC}+\vec{CB}=\vec{DB}$ (2) (áp dụng quy tắc ba điểm về tổng hai vectơ)

Từ (1) và (2) => $\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{DC}-\vec{BC}$ (dpcm)

VD2: Tính $\vec{MN}-\vec{QP}+\vec{RN}-\vec{PN}+\vec{QR}$

Lời giải:

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán vững vàng

2. Áp dụng vào tổng và hiệu của hai vectơ

- Trung điểm của đoạn thẳng:

I là trung điểm của đoạn thẳng

$\Leftrightarrow \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}$

- Trọng tâm của tam giác:

Với H là trọng tâm của tam giác MNP

$\Leftrightarrow \vec{HM}+\vec{HN}+\vec{HP}=\vec{0}$

- Tính chất của vectơ không:

AB+0=0+AB=AB

3. Các dạng bài tập về tổng và hiệu của hai vectơ

3.1. Xác định độ dài tổng và hiệu của 2 vectơ

3.1.1. Phương pháp giải

Đưa tổng hoặc hiệu của các vectơ về một vectơ có độ dài là một cạnh của đa giác để tính độ dài của vectơ.

3.1.2. Ví dụ minh họa

VD1: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính: $\left | \vec{AB}+\vec{AD}\right |$

Lời giải:

$\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{AC}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \left | \vec{AB}+\vec{AD}\right|=\left | \vec{AC} \right |=AC$

Vì ABCD là hình chữ nhật BC=AD=2a

Xét tam giác ABC vuông tại B

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

$AC^{2}=\left ( 4a \right )^{{2}+\left ( 2a \right )}{2}=20a^{2}$ $\Rightarrow AC=\sqrt{20a^{2}}=2\sqrt{5}a$

VD2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\left | \vec{CA}-\vec{BA}\right |$

Lời giải:

Vì $\vec{BA}=\vec{AB}=AB$ và $\left | \vec{BA} \right |$ ngược hướng với $\left | \vec{AB} \right |$

$\Rightarrow \vec{AB}=-\vec{BA}$

Ta có: $\vec{CA}-\vec{BA}=\vec{CA}+\left ( -\vec{BA} \right )=\vec{CA}+\vec{AB}=\vec{CB}$ $\Rightarrow \left | \vec{CA}-\vec{BA}\right |=\left | \vec{CB} \right |=CB=a$

VD3: Cho hình vuông ABCD cạnh, M là một điểm bất kỳ. Tính $\left | \vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}+\vec{MD}\right |$

Lời giải:

3.2. Chứng minh các đẳng thức các vectơ từ việc biến đổi

3.2.1. Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, trọng tâm, trung điểm để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức vectơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

3.2.2. Ví dụ minh họa

VD1: Cho sáu điểm tùy ý A,B,C,D,E,F. Chứng minh đẳng thức sau:

$\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{AE}+\vec{BF}+\vec{CD}$

Lời giải:

- Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{CD}$

Vế trái $=\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}=\vec{AC}+\vec{CD}+\vec{BE}+\vec{CF}$

$=(\vec{AC}+\vec{CF})+\vec{CD}+\vec{BE}=\vec{AF}+\vec{CD}+\vec{BE}$

- Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: $\vec{AF}=\vec{AE}+\vec{EF}$

Vế phải $=\vec{AE}+\vec{EF}+\vec{CD}+\vec{BE}=\vec{AE}+(\vec{BE}+\vec{EF})+\vec{CD}$

$=\vec{AE}+\vec{BF}+\vec{CD}$ =Vế trái (điều phải chứng minh).

VD2: Cho tam giác ABC. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Điểm O bất kì. Chứng minh đẳng thức: $=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OM}+\vec{ON}+\vec{OP}$

Lời giải:

Giả sử $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OM}+\vec{ON}+\vec{OP}$ là đúng

\=> $\vec{OM}-\vec{OC}+\vec{ON}-\vec{OA}+\vec{OP}-\vec{OB}=\vec{0}$

\=> $\vec{CM}+\vec{AN}+\vec{BP}=\vec{0}$ (1)

VD3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn: $\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AB}-\vec{AC}$ thì tam giác ABC là tam giác vuông

Lời giải:

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích

⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô

⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi

⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề

⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập

Đăng ký học thử miễn phí ngay!!

Trên đây là toàn bộ kiến thức và các dạng bài tập về tổng và hiệu của hai vectơ Hy vọng sau bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh xử gọn các dạng bài về tổng và hiệu của 2 vectơ một cách dễ dàng. Các em hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để luyện thêm đề, bài tập và theo dõi bài giảng hấp dẫn nhất nhé!